Зависимость критической силы от условий закрепления стержня

8.3 Зависимость критической силы от условий закрепления стержня

Формула Эйлера была получена нами для, так называемого, основного случая – в предположении шарнирного опирания стержня по концам (рис.57). На практике встречаются и другие случаи закрепления стержня. При этом можно получить формулу для определения критической силы для каждого из этих случаев, решая, как в предыдущем параграфе, дифференциальное уравнение изогнутой оси балки с соответствующими граничными условиями. Но можно использовать и более простой прием, если вспомнить, что, при потере устойчивости на длине стержня должна укладываться одна полуволна синусоиды.

Рассмотрим некоторые характерные случаи закрепления стержня по концам и получим общую формулу для различных видов закрепления.

1. Стержень длиной l заделан одним концом и сжат продольной силой (рис.58,а). Из сравнения вида изогнутой оси балки для рассматриваемого и основного случаев можем сделать вывод, что ось стержня, заделанного одним концом, находится в тех же условиях, как и верхняя половина шарнирно опертого стержня длиной 2·l. Таким образом, критическая сила для стержня длиной l с одним защемленным концом может быть найдена так же как и для шарнирно опертой балки длиной 2·l, то есть

.                                    (8.6)

2. Стержень длиной l, у которого оба конца жестко заделаны (рис.58,б). Средняя часть стержня, с двумя жестко закрепленными,  концами находится в тех же условиях, что и шарнирно опертая балка длиной l/2. Таким образом, критическая сила для стержня длиной l с двумя защемленными концами может быть определена так же как и для шарнирно опертой балки длиной l/2, то есть

Рекомендуем посмотреть лекцию "Доброкачественные опухоли матки".

.                                     (8.7)

3. Стержень длиной l, у которого один конец жестко заделан, а другой шарнирно оперт (рис.58,в). Критическая сила для стержня длиной l с защемленным и шарнирно опертым концами может быть определена так же как и для шарнирно опертой балки длиной 0,7·l, то есть

                                                           (8.8)

Все полученные решения можно объединить в одну общую формулу

                         ,                                        (8.9)

где ·l = l_пр – приведенная длина стержня; l – фактическая длина стержня;  – коэффициент приведенной длины, показывающий во сколько раз необходимо изменить длину стержня, чтобы критическая сила для этого стержня стала равна критической силе для шарнирно опертой балки. (Другая интерпретация коэффициента приведенной длины:  показывает, на какой части длины стержня для данного вида закрепления укладывается одна полуволна синусоиды при потере устойчивости.)