Механика системы микрочастиц

Квантовая механика системы микрочастиц строится путем обобщения основных понятий и законов механики одной частицы. Состояние системы описывается волновой функцией:

Ψ = Ψ(х₁, х₂,…, х_N, t),

где х_i совокупность трех координат точки пространства, в которой может оказаться i – тая микрочастица.

Вероятность того, что частица находится

в элементе объема около точки с координатами х₁, у₁, z₁
и одновременно с этим частица в элементе объема около точки с координатами определяется формулой:

Таким образом, речь идет о конфигурации системы, т.е. того или иного расположения частиц в заданный момент времени.

Следует помнить, что координаты x_i, y_i, z_i не есть координаты i – той частицы – это координаты любой точки пространства, но относятся они к описанию i – той частицы, к нахождению ее места в общей конфигурации системы.

Обычный вид имеет условие нормировки:

Этот интеграл 3N кратный.

В механике системы частиц используют операторы, относящиеся к отдельным частицам, например, оператор координаты , оператор импульса и другие. Такие операторы можно назвать одночастичными. При умножении на волновую функцию каждый одночастичный оператор действует только как оператор своей частицы. Поэтому операторы, относящиеся к разным частицам, коммутируют между собой.

Операторы величин, характеризующих систему в целом, найдем по принципу соответствия с классической механикой.

Оператор импульса системы имеет вид: .

Оператор момента импульса системы определяется как сумма .

Оператор Гамильтона для системы взаимодействующих частиц, находящихся во внешнем поле,

Первое слагаемое есть кинетическая энергия частиц,

второе – потенциальная энергия их во внешнем поле,

третье – потенциальная энергия их взаимодействия друг с другом.

Уравнение Шредингера для системы имеет тот же вид, что и для одной частицы:

На систему микрочастиц распространяются все постулаты, записанные для одной частицы (стационарные состояния, законы сохранения физических величин, допустимые значения физических величин, вероятности отдельных значений, принцип суперпозиций и правило вычисления средних).

В системе необходимо учитывать спин частиц. Используются операторы спина отдельных частиц и вводится оператор спина системы:

Если частицы в системе не взаимодействуют, то оператор Гамильтона для системы имеет вид:

где .

Операторы можно назвать одночастичными операторами Гамильтона.

Внешние поля предполагаются стационарными, поэтому энергия системы сохраняется.

Ее волновая функция равна произведению координатного и временного множителей:

Для нахождения функций ψ(х₁,х₂,…,х_N) нужно решить уравнение Шредингера без времени

или

. (5.1)

Одночастичные операторы Гамильтона действуют только на координаты i-той частицы. Поэтому переменные в уравнении (9.1) разделяются. Выполним подстановку:

. (5.2)

Получаем

разделим на ψ₁ψ₂…ψ_N

Подставим энергию системы Е в виде слагаемых, имеющих смысл энергии отдельных частиц. Значения последних находятся из уравнений:

, (5.3)

на которые распадается уравнение (5.1).

Решив уравнение (5.3), мы найдем уровни энергии и волновые функции для каждой частицы. Каждый уровень и каждая функция определяется некоторым набором квантовых чисел, обозначающихся через n_i (например, для электрона в кулоновском поле набор представляет совокупность четырех чисел: n, , m, m_s). Индекс i дает номер частицы, к которой относится набор.

Итак, для системы:

- функция состояния системы невзаимодействующих частиц находится как произведение одночастичных функций.

Можно показать, что четность состояния системы частиц равна произведению четностей состояния отдельных частиц:

Если частицы в системе одинаковы, например, это электроны, то все уравнения (5.3) имеют один и тот же вид. Это означает, что спектр функций состояния и уровней энергии один и тот же для всех частиц. Квантовые состояния системы можно получить, составляя различные комбинации по N – одночастичных состояний. Все эти состояния определяются выборками по N из бесконечного числа наборов квантовых чисел n, определяющих состояние одного электрона в некотором поле.

5.2. Тождественность частиц одного и того же вида и

принцип Паули

В системе микрочастиц проявляются также физические закономерности, которые не могут быть установлены при анализе движения одной микрочастицы.

Квантовая система, состоящая из одинаковых частиц, например, электронов, протонов, фотонов и т.д., обладает некоторыми новыми свойствами, не имеющими аналога в классической физике. Они связаны с абсолютной тождественностью частиц одного и того же вида.

В макромире всегда можно различить два тела по массе, заряду, энергии и т.д. Все эти величины в классической физике считаются изменяющимися непрерывно, так что вопрос о различии параметров частиц сводится к степени точности измерений. Более того, при совпадении всех характеристик частиц одного и того же вида всегда можно отличить частицы друг от друга, постоянно следя за движением каждой частицы по своей траектории.

В микромире имеют место дискретные значения величин, характеризующих микрочастицы. Внутренние параметры у частиц одного вида совершенно одинаковы, так, у всех электронов одинаковы масса, заряд, спин. Если частицы находятся в одинаковых состояниях, то совпадают и параметры состояний: у них одинаковые энергия в связанном состоянии, момент импульса и его проекция, проекция спина. Абсолютное совпадение характеристик микрочастиц одного вида приводит к их тождественности, принципиальной неразличимости. Это положение носит название принципа тождественности частиц и является постулатом квантовой механики системы частиц.

Принцип тождественности связан и с тем, что при тесном сближении невозможно проследить за каждой частицей в отдельности вследствие неопределенности положений частиц в пространстве.

В случае столкновения классических тел всегда можно установить, какое из них отскочило вверх или вниз (рис.5.1.а).

Для квантовых объектов вместо траекторий приходится рассматривать «трубку», в которой движется волновой пакет (рис.5.1.б) Если нет перекрывания волновых пакетов, то частицы можно различить по их положению в пространстве.

Однако при взаимодействии или даже при сближении без взаимодействия трубки пересекаются и нельзя установить, где какая частица находится. Поэтому после соударения можно сказать только, что одна из частиц полетела вверх, а другая – вниз. В микроскопической системе, например, в атоме, волновые функции отдельных частиц (электронов) перекрываются, т.е. отличны от нуля в одних и тех же точках пространства. Поэтому при одинаковых характеристиках частицы совершенно неотличимы друг от друга.

Принцип тождественности приводит к важнейшему выводу: в силу абсолютной неразличимости одного и того же вида перестановка местами любых двух частиц в системе не приводит к изменению физического состояния системы.

Посмотрим, какие ограничения накладывает принцип тождественности на операторы физических величин функции состояния системы. Для этого учтем, что перестановка частиц в системе отображается в операторах и функциях состояния перестановкой соответствующих координат. Так, перестановка j -ой и k -ой частиц означает перестановку x_j и x_k.

Операторы физических величин должны быть симметричными относительно индексов частиц одного сорта, т.е. они не должны зависеть от нумерации этих частиц в системе. Этому правилу удовлетворяют все операторы, введенные ранее для системы.

Волновая функция системы при перестановке аргументов, относящихся к двум разным частицам, может изменяться только на физически несущественный фазовый множитель е^iα.

Поэтому для функции состояния системы должно выполняться равенство:

Сделаем вторую перестановку координат двух рассматриваемых частиц в правой части этого равенства:

отсюда

Следовательно, при перестановке координат любых двух частиц волновая функция либо только меняет знак, либо не изменяется.

Функции первого типа называются антисимметричными,

а второго - симметричными (по отношению к перестановке частиц местами).

Симметрия функций состояния не зависит от взаимодействия и движения частиц в системе.

Атом водорода в квантовой механике

Решение задачи об энергетических уровнях электрона для атома водорода (а также водородоподобных систем: иона гелия Не⁺, двукратно ионизованного лития Li⁺⁺ и др.) сводится к задаче о движении электрона в кулонов-ском поле ядра.

Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром, обладающим зарядом Ze (для атома водорода Z= 1),

где г — расстояние между электроном и ядром.

Графически функция U(r) изображена жирной кривой на рис. 305. U(r) с уменьшением г (при приближении электрона к ядру) неограниченно убывает.

Состояние электрона в атоме водорода описывается волновой функцией i[), удовлетворяющей стационарному уравнению Шредингера (217.5), учитывающему значение (223.1):

где т — масса электрона; Е — поли
энергия электрона в атоме.

Так как поле, в котором движея электрон, является центрально-сй метричным, то для решения уравнеШ (223.2) обычно используют сфери^ скую систему координат: г, 9, ip. He Bjj ваясь в математическое решение Ш задачи, ограничимся рассмотрели! важнейших результатов, которые] него следуют, пояснив их физическ) смысл.

1. Энергия. В теории дифферент альных уравнений доказывается, %уравнения типа (223.2) имеют решения, удовлетворяющие требованиям однозначности, конечности и непрерывности волновой функции -ф, только при собственных значениях энергии

т.е. для дискретного набора отрицательных значений энергии.

Таким образом, как и в случае «потенциальной ямы» с бесконечно высокими «стенками» (см. § 220) и гармонического осциллятора (см. § 222), решение уравнения Шредингера для атома водорода приводит к появлению дискретных энергетических уровней. Возможные значения Е_ь Е₂, Е₃, ... показаны на рис. 305 в виде горизонтальных прямых.

Самый нижний уровень Е_х, отвечающий минимальной возможной энергии, — основной, все остальные (Е_п > Е_ьп - 2,3,...) — возбужденные (см. § 212). При Е < 0 движение электрона является связанным — он находится внутри гиперболической «потенциальной ямы». Из рисунка следует, что по мере роста главного квантового числа п энергетические уровни располагаются теснее и при п = со £_то = 0. При Е > 0 движение электрона является свободным; область непрерывного спектра Е > 0 (заштрихована на рис. 305) соответствует ионизованному атому. Энергия | ионизации атома водорода равна

Выражение (223.3) совпадает с фор-I мулой (212.3), полученной Бором для I энергии атома водорода. Однако если | Бору пришлось вводить дополнитель-I ные гипотезы (постулаты), то в кванто-^ вой механике дискретные значения

энергии, являясь следствием самой теории, вытекают непосредственно из решения уравнения Шредингера.

2. Квантовые числа. В квантовой механике доказывается, что уравнению Шредингера (223.2) удовлетворяют собственные функции i|;_n,_mi (r, G, ip), определяемые тремя квантовыми числами: главным п, орбитальным I и магнитным то,.

Главное квантовое число п, согласно (223.3), определяет энергетические уровни электрона в атоме и может принимать любые целочисленные значения, начиная с единицы:

п=1,2,3, ... .

Из решения уравнения Шредингера вытекает, что момент импульса (механический орбитальный момент) электрона квантуется, т. е. не может быть произвольным, а принимает дискретные значения, определяемые по формуле

где / — орбитальное квантовое число, которое при заданном п принимает значения

1=0,1....................... (п-1), (223.5)

т.е. всего п значений, и определяет момент импульса электрона в атоме.

Из решения уравнений Шредингера следует также, что вектор L, момента импульса электрона может иметь лишь такие ориентации в пространстве, при которых его проекция L_h на направление z внешнего магнитного поля принимает квантованные значения, кратные h:

L_lz = hm_h (223.6)

где То; — магнитное квантовое число,

которое при заданном / может принимать значения

гщ = 0,±1,±2, ...,±1, (223.7

т.е. всего 21 + 1 значений. Таким образом, магнитное квантовое число щ определяет проекцию момента импульса электрона на заданное направление, причем вектор момента импульса электрона в атоме может иметь в пространстве 21+1 ориентации.

Наличие квантового числа т, должно привести в магнитном поле к расщеплению уровня с главным квантовым числом п на 21+ 1 подуровней. Соответственно в спектре атома должно наблюдаться расщепление спектральных линий. Действительно, расщепление энергетических уровней в магнитном поле было обнаружено в 1896 г. голландским физиком П.Зееманом (1865 —1945) и получило название эффекта Зеемана, Расщепление уровней энергии во внешнем электрическом поле, тоже доказанное экспериментально, называется эффектом Штарка¹.

Хотя энергия электрона (223.3) и зависит только от главного квантового числа п, но каждому собственному значению Е_п (кроме Е_г) соответствует несколько собственных функций i)j_nfaj, отличающихся значениями I и щ. Следовательно, атом водорода может иметь одно и то же значение энергии, находясь в нескольких различных состояниях.

Так как при данном п орбитальное квантовое число I может изменяться от О до п - 1 [см. (223.5)], а каждому значению I соответствует 21+1 различных значений т_; (223.7), то число различных состояний, соответствующих данному п, равно

п-1

£](2/ + 1) = п². (223.8)

г=о

Квантовые числа и их значения являются следствием решений уравнений

Шредингера и условий однозначное™ непрерывности и конечности, налагав мых на волновую функцию ip. КромИ того, так как при движении электрони в атоме существенны волновые своЯ ства электрона, то квантовая механики вообще отказывается от классического] представления об электронных орбиВ тах. Согласно квантовой механике, каж-1 дому энергетическому состоянию соот-1 ветствует волновая функция, квадрат! модуля которой определяет вероят-1 ность обнаружения электрона в единице объема.

Вероятность обнаружения электрона в различных частях атома неодинакова. Электрон при своем движении как бы «размазан» по всему объему, образуя электронное облако, плотность (густота) которого характеризует вероятность нахождения электрона в различных точках объема атома. Квантовые числа п и I характеризуют размер и форму электронного облака, а квантовое число mi ~ ориентацию электронного облака в пространстве.

В атомной физике, по аналогии со спектроскопией, состояние электрона, характеризующееся квантовыми числами 1= 0, называют s-состоянием (электрон в этом состоянии называют s-элек-троном), 1=1 — ^-состоянием, 1 = 2-d-состоянием, 1=3 — /-состоянием и т. д. Значение главного квантового числа указывается перед условным обозначением орбитального квантового чис- | ла. Например, электроны в состояниях | сп = 2и/ = 0и1 обозначаютсясоответ- | ственно символами 2s и 2р.

На рис. 306 для примера приведено 1 распределение электронной плотности I (формы электронного облака) для состо- | яний атома водорода при п = 1 и п = 2, 1 определяемое |tp_nfrnJ². Как видно из ри- у сунка, оно зависит от п, 1я т_;. Так, при I I = 0 электронная плотность отлична от 1нуля в центре и не зависит от направ-; ления (сферически-симметрична), а ; для остальных состояний в центре рав- на нулю и зависит от направления. [ 3. Спектр. Квантовые числа I, n и щ i позволяют более полно описать спектр | испускания (поглощения) атома водо-I рода, полученный в теории Бора (см. I рис. 297).

j В квантовой механике вводятся пра -| вила отбора, ограничивающие число ; возможных переходов электронов в

атоме, связанных с испусканием и по- глощением света. Теоретически доказа- но и экспериментально подтверждено, i что для дипольного излучения электро-i на, движущегося в центрально-симмет-| ричном поле ядра, могут осуществлять- ся только такие переходы, для которых: г 1) изменение орбитального кванто-; вого числа ДI удовлетворяет условию

AZ=±1; (223.9)

2) изменение магнитного квантово-i го числа Дт, удовлетворяет условию

Дт, = 0,±1 В оптических спектрах указанные правила отбора в основном выполняются. Однако в принципе могут наблюдаться и слабые «запрещенные» линии, например возникающие при переходах с А1 = 2. Появление этих линий объясняется тем, что строгая теория, запрещая дипольные переходы, разрешает переходы, соответствующие излучению более сложных систем зарядов, например квадруполей. Вероятность же квадру-польных переходов (переходы с А1 = 2) во много раз меньше вероятности ди-польных переходов, поэтому «запрещенные» линии и являются слабыми.

Учитывая число возможных состояний, соответствующих данному п, и правило отбора (223.9), рассмотрим спектральные линии атома водорода (рис. 307). Серии Лаймана соответствуют переходы

пр—►Is (n = 2, 3, ...);

серии Бальмера —

пр—>2s, ns—»2p, nd—*2p (n = 3, 4, ...);

и т.д. Переход электрона из основного состояния в возбужденное обусловлен увеличением энергии атома и может происходить только при сообщении атому энергии извне, например за счет поглощения атомом фотона. Так как поглощающий атом находится обычно в основном состоянии, то спектр атома водорода должен состоять из линий, соответствующих переходам Is—>np (п= 2, 3, ...), что находится в полном согласии с опытом.

§ 224. Is-Состояние электрона в атоме водорода

ls-Состояние электрона в атоме водорода является сферически-симметричным. Волновая функция -ф электрона в этом состоянии определяется только расстоянием г электрона от ядра, т. е. ■ф = г|;₁₀₀(г), где цифры в индексе соответственно указывают, что п — 1,1 = О и ГП[ = 0. Уравнению Шредингера для 1 s-состояния электрона в атоме водорода удовлетворяет функция вида

^ = Се"«, (224.1)

/г²4-гсе₀

где, как можно показать, а —--- ^- —

me^zвеличина, совпадающая с первым бо-

ровским радиусом а [см. (212.2)] для атома водорода; С — некоторая постоянная, определяемая из условия нормировки вероятностей (216.3).

Благодаря сферической симметрии ■ф-функции вероятность обнаружения электрона на расстоянии г одинакова по всем направлениям. Поэтому элемент объема dV, отвечающий одинаковой плотности вероятности, обычно представляют в виде объема сферического слоя радиусом г и толщиной dr: dV = 4-nr²dr. Тогда, согласно условию нормировки вероятностей (216.3) с учетом (224.1),

оо оо 2г

1 = JT>²dV = JC²e'~4тсгЧг.
о о

После интегрирования получим

С = -^=. (2242)

V^a³

Подставив выражение (224.2) в формулу (224.1), определим нормированную волновую функцию, отвечающую ls-состоянию электрона в атоме водорода:

«г) = -7= el (224.3) Vttut

Вероятность обнаружить электрон в элементе объема [см. (216.2)] равна

dW= ЩЧУ= |o|f4irr²dr.

Подставив в эту формулу волновую

функцию (224.3), получим плотность

dW вероятности w = ——: dr

1 — w = —re ° 4irr²dr. тест

Вычислим те расстояния r_max от ядра, на которых электрон может быть обнаружен с наибольшей вероятностью.

Исследуя выражение —— на максимум,

dr получим, что r_max = а. Следовательно,

электрон может быть обнаружен с наибольшей вероятностью на расстояниях, равных боровскому радиусу, т. е. имеется равная и наибольшая вероятность обнаружения электрона во всех точках, расположенных на сферах радиуса а с центром в ядре атома.

Казалось бы, квантово-механиче-ский расчет дает полное согласие с теорией Бора. Однако, согласно квантовой механике, плотность вероятности лишь;¹при г = а достигает максимума, оставаясь отличной от нуля во всем пространстве (рис. 308). Таким образом, в основном состоянии атома водорода наиболее вероятным расстоянием от электрона до ядра является расстояние, равное боровскому радиусу. В этом заключается квантово-механический смысл бо-ровского радиуса.

§ 225. Спин электрона. Спиновое квантовое число

I 0. Штерн и В. Герлах, проводя пря-[ мые измерения магнитных моментов s (см. § 131), обнаружили в 1922 г., что [ узкий пучок атомов водорода, заведомо находящихся в s-состоянии, в неоднородном магнитном поле расщепляется на два пучка. В этом состоянии мо-: мент импульса электрона равен нулю , [см. (223.4)]. Магнитный момент ато-{ ма, связанный с орбитальным движени-. ем электрона, пропорционален механи-• ческому моменту [см. (131.3)], поэтому , он равен нулю и магнитное поле не дол-^г ясно оказывать влияния на движение I атомов водорода в основном состоянии, т.е. расщепления быть не должно. Однако в дальнейшем при применении спектральных приборов с большой раз-< решающей способностью было доказа-. но, что спектральные линии атома во-: дорода обнаруживают тонкую структуру (являются дублетами) даже в отсут-| ствие магнитного поля Для объяснения тонкой структуры спектральных линий, а также ряда других трудностей в атомной физике американские физики Д. Уленбек (1900 — 1974) и С. Гаудсмит (1902 -1979) предположили, что электрон обладает собственным неуничтожимым механическим моментом импульса, не связанным с движением электрона в пространстве, — спином (см. § 131).

Спин электрона (и всех других микрочастиц) — квантовая величина, у нее нет классического аналога; это внутреннее неотъемлемое свойство электрона, подобное его заряду и массе.

Если электрону приписывается собственный механический момент импульса (спин) L_s, то ему соответствует собственный магнитный момент p_ms. Согласно общим выводам квантовой механики, спин квантуется по закону

L_s = /ц/ф + 1),

где s — спиновое квантовое число.

По аналогии с орбитальным моментом импульса, проекция репина квантуется так, что вектор L_s может принимать 2 s + 1 ориентации. Так как в опытах Штерна и Герлаха наблюдались только две ориентации, то 2s + 1 = 2, откуда s = 1/2- Проекция спина на направление внешнего магнитного поля, являясь квантованной величиной, определяется выражением, аналогичным (223.6):

L,z = h^ms,

где m_s — магнитное спиновое квантовое число; оно может иметь только два значения: m_s = ±V2-

Таким образом, опытные данные привели к необходимости характеризовать электроны (и микрочастицы вообще) добавочной внутренней степенью свободы. Поэтому для полного описа-

Для объяснения тонкой структуры спектральных линий, а также ряда других трудностей в атомной физике американские физики Д. Уленбек (1900 — 1974) и С. Гаудсмит (1902 -1979) предположили, что электрон обладает собственным неуничтожимым механическим моментом импульса, не связанным с движением электрона в пространстве, — спином (см. § 131).

L_s = /ц/ф + 1),

где s — спиновое квантовое число.

L,z = h^ms,

где m_s — магнитное спиновое квантовое число; оно может иметь только два значения: m_s = ±V2-

В квантовой механике положение иное. Из соотношения неопределенностей вытекает, что для микрочастиц вообще неприменимо понятие траектории; состояние микрочастицы описывается волновой функцией, позволяющей вычислять лишь вероятность (|i|>|²) нахождения микрочастицы в окрестностях той или иной точки пространства. Если же волновые функции двух тождественных частиц в пространстве перекрываются, то разговор о том, какая частица находится в данной области, вообще лишен смысла: можно лишь говорить о вероятности нахождения в данной области одной из тождественных частиц.

Таким образом, в квантовой механике тождественные частицы полностью теряют свою индивидуальность и становятся неразличимыми. Следует подчеркнуть, что принцип неразличимости тождественных частиц не является просто следствием вероятностной интерпретации волновой функции, а вводится в квантовую механику как новый принцип, который, как уже указывалось, является фундаментальным.

Принимая во внимание физический смысл величины |г|;|², принцип неразличимости тождественных частиц можно записать в виде

|Ф(^1,^2)|² = |^b(^2^i)|², (226.1)

где х_х и х₂ — соответственно совокупность пространственных и спиновых координат первой и второй частиц. Из выражения (226.1) вытекает, что возможны два случая:

т){х_ъх₂) = ±Цх₂,х₁),

т.е. принцип неразличимости тождественных частиц ведет к определенному свойству симметрии волновой функции. Если при перемене частиц местами волновая функция не меняет знака, то онаназывается симметричной, если меняет — антисимметричной.

Изменение знака волновой функции не означает изменения состояния, так как физический смысл имеет лишь квадрат модуля волновой функции. В квантовой механике доказывается, что характер симметрии волновой функции не меняется со временем. Это же является доказательством того, что свойство симметрии или антисимметрии — признак данного типа микрочастиц.

Установлено, что симметрия или антисимметрия волновых функций определяется спином частиц. В зависимости от характера симметрии все элементарные частицы и построенные из них системы (атомы, молекулы) делятся на два класса. Частицы с полуцелым спиты (например, электроны, протоны, нейтроны) описываются антисимметричными волновыми функциями и подчиняются статистике Ферми—Дирака; эти частицы называются ферми-онами.

Частицы с нулевым или целочисленным спином (например, тс-мезоны, фотоны) описываются симметричными волновыми функциями и подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна; эти частицы называются бозонами. Сложные частицы (например, атомные ядра), составленные из нечетного числа фер-мионов, являются фермионами (суммарный спин — полуцелый), а из четного — бозонами (суммарный спин целый).

Зависимость характера симметрии волновых функций системы тождественных частиц от спина частиц теоретически обоснована швейцарским физиком В.Паули (1900-1958), что явилось еще одним доказательством того, что спин является фундаментальной характеристикой микрочастиц§ 227. Принцип Паули.

Распределение электронов

в атоме по состояниям

Если тождественные частицы имеют одинаковые квантовые числа, то их волновая функция симметрична относительно перестановки частиц. Отсюда следует, что два одинаковых фермиона, входящих в одну систему, не могут находиться в одинаковых состояниях, так как для фермионов волновая функция должна быть антисимметричной. Обобщая опытные данные, В. Паули сформулировал принцип, согласно которому системы фермионов встречаются в природе только в состояниях, описываемых антисимметричными волновыми функциями (квантово-механическая формулировка принципа Паули).

Из этого положения вытекает более простая формулировка принципа Паули, которая и была введена им в квантовую теорию (1925) еще до утверждения квантовой механики: в системе одинаковых фермионов любые два из них не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии. Отметим, что число однотипных бозонов, находящихся в одном и том же состоянии, не лимитируется.

Напомним, что состояние электрона в атоме однозначно определяется набором четырех квантовых чисел:

главного п(п= 1, 2, 3,...), орбитального 1(1= 0, 1, 2, ..., п— 1), магнитного m_t

(m,=-/,...,-1,0, +1, ...,+0, магнитного спинового m_s

(m_s = +1/2, -^l/2)-

Распределение электронов в атоме подчиняется принципу Паули, который может быть использован в его простейшей формулировке: в одном и том же атоме не может быть более одного

Главное квантовое число п	1	2	3	4	5
Символ оболочки	К	L	м	N	О
Максимальное число электронов в оболочке	2	8	18	32	50
Орбитальное квантовое число 1	0	0	1	0	1	2	0	1	2	3	0	1	2	3	4
Символ подоболочки	Is	2s	2р	3s	Зр	3d	4s	Ар	Ad	4/	5s	Ър	bd	5/	59
Максимальное число электронов в подоболочке	2	2	6	2	6	10	2	6	10	14	2	6	10	14	18

электрона с одинаковым набором четырех квантовых чисел п, I, mi и m_s, т. е.

Z(n, I, m_t, m_s) — 0 или 1,

где Z(n, I, m_h m_s) — число электронов, находящихся в квантовом состоянии, описываемом набором четырех квантовых чисел: п, I, щ, m_s.

Таким образом, принцип Паули утверждает, что два электрона, связанные в одном и том же атоме, различаются значениями по крайней мере одного квантового числа.

Согласно формуле (223.8), данному п соответствует п² различных состояний, отличающихся значениями /и т_ь Квантовое число m_s может принимать лишь два значения (±1/₂). Поэтому максимальное число электронов, находящихся в состояниях, определяемых данным главным квантовым числом, равно

п-1 ,

"Тоталитарные и авторитарные режимы 1930-х гг." - тут тоже много полезного для Вас.

Z(n) = ]>]2(2/ + l) = 2n².

Совокупность электронов в многоэлектронном атоме, имеющих одно и то же главное квантовое число п, называют электронной оболочкой. В каждой из оболочек электроны распределяются по подоболочкам, соответствующим данному I. Поскольку орбитальное квантовое число принимает значения

от 0 до п — 1, число под оболочек равно порядковому номеру п оболочки. Количество электронов в подоболочке определяется магнитным и магнитным спиновым квантовыми числами: максимальное число электронов в подоболочке с данным /равно 2(2/ + 1). Обозначения оболочек, а также распределение электронов по оболочкам и подоболочкам представлены в табл. 11.

§ 228. Периодическая система элементов Менделеева

Принцип Паули лежит в основе систематики заполнения электронных состояний в атомах и позволяет объяснить Периодическую систему элементов Д.И.Менделеева (1869) -фундаментальный закон природы, являющийся основой современной химии, атомной и ядерной физики.

Д.И.Менделеев ввел понятие по- рядкового номера Z химического эле- I мента, равного числу протонов в ядре и соответственно равного общему числу 1 электронов в электронной оболочке I атома. Расположив химические элемен- | ты по мере возрастания порядковых но- | меров, он получил периодичность в из- | менении химических свойств элемен- 1 тов. Однако для известных в то время j

Поделитесь ссылкой:

Популярные услуги

Механика системы микрочастиц

Рекомендуемые материалы

Рекомендуемые лекции