Дифференциальное уравнение равновесия
1.14 Дифференциальное уравнение равновесия
Рассмотрим, какие зависимости накладываются условиями статики на изменение составляющих тензора напряжений при переходе от данной точки сплошного тела к соседним точкам. Для этого мысленно выделим элементарный параллелепипед с ребрами dx, dy, dz и напишем для него условие равновесия (см. рис. 1.23). Внутри него действует объемная сила К, т. е. сила, отнесенная к единице объема, например, сила веса. Ее проекцию на ось Х обозначим Кх. Напряжения на гранях несколько отличаются от напряжений в центре параллелепипеда. Обозначим напряжения на невидимых гранях с одним штрихом, на видимых — с двумя (в сопротивлении материалов мы принимали, что они одинаковы, но в теории упругости и пластичности учитывается изменение напряжений на противоположных гранях).
Уравнение, выражающее, что сумма проекций всех сил на ось Х равна нулю, будет:
.
Бесконечно малые приращения напряжений могут быть выражены через их частные производные по координатам:
; 
; 
.
Подставим эти значения и сократим на 
. Получим дифференциальное уравнение равновесия для оси Х. Аналогично получим
и для осей Y , Z.
(1.30)
Рекомендуемые материалы
Рисунок 1.23
Можно составить еще три уравнения равновесия моментов, из которых мы получим подтверждение закона парности касательных напряжений.
Вам также может быть полезна лекция "Этапы и способы решения крестьянского вопроса в XIX веке".
Контрольные вопросы
1. Почему при выводе зависимостей используются частные производные?
2. Напишите дифференциальные уравнения равновесия.
3. Как получить подтверждение закона парности касательных напряжений?
