Виды напряженного состояния в точке

1.2 Виды напряженного состояния в точке

В нагруженном какой-то нагрузкой теле в каждой точке сечения
в общем случае возникают нормальное напряжение , направленное перпендикулярно к сечению, и касательное , лежащее в плоскости сечения. Как известно, через точку можно провести бесконечное количество плоскостей и в этой точке будут напряжения и . перпендикулярные и лежащие в этих плоскостях. Таким образом, напряженное состояние в точке можно представить совокупностью всех и , возникающих в ней. Для характеристики напряженного состояния в точке достаточно знать значения нормальных и касательных напряжений на трех взаимно перпендикулярных площадках (будет доказано позднее). Их удобнее представить в виде параллелепипеда с бесконечно малыми гранями. Поскольку расстояние между гранями бесконечно мало, то можно считать, что на противоположных гранях параллелепипеда возникают одинаковые по величине напряжения, но направленные противоположно.

Напряженное состояние в точке выражается совокупностью нормальных и касательных напряжений на трех взаимно перпендикулярных площадках (см. рис.1.2 а).

Рисунок 1.2

Нормальные напряжения имеют индекс оси, вдоль которой они направлены , ,. Касательные напряжения раскладывают на две составляющие, направленные вдоль осей координат. Поэтому касательные напряжения имеют два индекса: первый указывает площадку, на которой они действуют, второй — направление. Например,  — это касательное напряжение, действующее на площадке, перпендикулярной оси Х и направленное вдоль оси У. Эти девять компонентов напряжений записывают в столбик (в ряду — площадка, на которой действуют напряжения, в столбце — направление, совпадающее с осью координат) и называют тензором напряжений .

 =

Согласно закону парности касательных напряжений (будет доказано позднее):

Рекомендуемые материалы

_;  и .

Таким образом, тензор напряжений состоит из 9 напряжений, но, учитывая, что касательные напряжения на двух взаимно перпендикулярных площадках равны, то напряженное состояние в точке может характеризоваться 6-ью напряжениями.

С поворотом граней параллелепипеда нормальные и касательные напряжения меняют свою величину и направление, но напряженное состояние в точке остается неизменным. Из этого следует, что может быть бесконечное количество записей тензора напряжений, но они будут характеризовать одно и то же напряженное состояние в точке.

Всегда можно найти такую ориентацию параллелепипеда в пространстве, когда на всех его гранях будут отсутствовать касательные напряжения  (будет доказано позднее). Площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения, называют главными площадками,
а нормальные напряжения, действующие на них — главными напряжениями. Главных напряжений 3 и они имеют обозначение
с учетом знака. Тензор напряжений, выраженный в главных напряжениях, имеет следующий вид и представлен на рисунке 1.2 б.

В зависимости от количества возникающих главных напряжений различают следующие виды напряженного состояния в точке:

1. Трехосное или объемное. Все три главных напряжения не равны нулю (см. рис.1.3 а).

2. Двухосное или плоское. Одно из главных напряжений равно нулю (см. рис. 1.3 б).

3. Одноосное или линейное. Два главных напряжения равны нулю (см. рис. 1.3 в). Линейное напряженное состояние представляет собой растяжение или сжатие вдоль одной оси.

Рисунок 1.3

Контрольные вопросы

1. Из скольких напряжений состоит тензор? Сколько из них определяющих?

Информация в лекции "16. Экологические аспекты методов разработки" поможет Вам.

2. Что такое главная площадка и главное напряжение?

3. Для одной и той же точки могут ли тензоры иметь различную запись?

4. Какие бывают виды напряженного состояния в точке?

5. Почему в тензоре, выраженном в главных напряжениях шесть нулей?

6. Какие индексы имеют касательные напряжения?

7. Как записывают напряжения в тензоре?