Кручение. Построение эпюр крутящих моментов

Лекция 5

5.1. Кручение. Построение эпюр крутящих моментов.

Стержень испытывает кручение, если в его поперечных сечениях возникают крутящие моменты. Обычно крутящие моменты возникают под действием внешних моментов T_В или сил, образующих моменты.

Вращающиеся и работающие на кручение стержни называют валами.

При изображении моментов используют плоское изображение в виде линий с двумя крожочками. В одном ставят точку, обозначающую начало стрелки (на нас), в дпугом крестик, обозначающий конец стрелки (от нас).

рис. 2

Для определения крутящих моментов T_К, возникающих в сечениях вала под действием внешних моментов T_В будем применять метод сечений. Сделав сечение а-а, и отбросив левую часть стержня рассмотрим равновесие правой (рис. 2).

Взаимодействие частей стержня заменим крутящим моментом T_С, уравновешивающим внешний момент T_В. Для равновесия отсеченной части необходимо, чтобы алгебраическая сумма всех моментов, действующих на нее была равна нулю, т.е. T_В = T_К.

Для наглядного представления о характере распределения и величине крутящих моментов по длине стержня строим эпюры (графики) этих моментов. Построение их аналогично построению эпюр продольных или при растяжении или сжатии. Для построения эпюр необходимо условиться о правиле знаков. Примем, что крутящий момент в сечении а-а считается положительным, если внешний момент вращает отсеченную часть против часовой стрелки со стороны сечения.

Рекомендуемые материалы

Пример: построить эпюры крутящих моментов.

Получившаяся эпюра имеет вид прямоугольников. Важно заметить, что в местах приложениея внешних моментов ординаты эпюры скачкообразно изменяются на величину приложенного здесь внешнего момента.

6.2. Определение напряжений в сторонах круглого сечения.

Крутящие моменты о которых шла речь выше представляют лишь равнодействующие внутренние усилия. Фактически в поперечном сечении скручиваемого стержня действуют непосредственно распределенные внутренние касательные напряжения, к определению которых перейдем.

Сделаем опыт.

Нанесем прямоугольную сетку на поверхность стержня, то после деформации окажется

1. Прямоугольная сетка превратилась в параллелограмм, что свидетельствует о наличии касательных напряжений в поперечном сечении.

2. Расстояние между окружностями (между I и II) не изменяется. Не меняется длина стержня и его диаметр. Делается допущение, что каждое поперечное сечение поворачивается в своей плоскости на некоторый угол, как жесткое целое.

Угол сдвига для элемента KLMN равен

NN’ / dz ® g_max = r (dj/dz)                (1)

Если обозначим r ¾ текущий радиус, можно записать

g = r (dj/dz)                                       (2)

На основании закона Гука при сдвиге имеем

t = Gg = Gr (dj/dz)                            (3)

т.е. при кручении деформации сдвига и касательные напряжения прямо пропорциональны расстоянию от центра тяжести сечения.

Зная закон распределения касательных напряжений, можно определить их величину из условия, что крутящий момент в сечении представляет собой равнодействующий момент касательных напряжений в сечении.

T_К = ò_AtrdA,                                       (4)

где trdA ¾ элементарный крутящий момент внутренних сил, действующих на площадке dA.

Подставив в (4) (3) получим

T_К = G(dj/dz)ò_Ar²dA

Имея ввиду, что подинтегральное выражение

ò_Ar²dA = I_р  ¾ полярный момент инерции сечения

Получим

(dj/dz) = T_К / GI_р

Но из (3)

(dj/dz) = t / Gr

Тогда

t / Gr = T_К / GI_р

t = r (T_К / I_р)

Как видно из этой формулы в точках одинаково удаленных от центра сечения, напряжения t одинаковы. Наибольшие напряжения в точках у контура сечения равны

t_max =  T_кr / I_р = T_к / W_р

Геометрическая характеристика W_р = I_р / r называется полярным моментом сопротивления или моментом сопротивления при кручении.

Для круглого сплошного стержня

W_р = I_р / r = pd⁴ / (32d/2) = pd³ / 16 » 0,2d³

Для кольцевого стержня

W_р = I_р / (D/2) = p (D⁴-d⁴)/ 16D = (pD³/16) (1-c⁴) » 0,2D³(1-c⁴)

где c=d/D

Условие статической прочности вала при кручении имеет вид

t_max = T_к / W_р £ [t]

Здесь [t] ¾ допускаемое напряжение на кручение.

При действии статической нагрузки принимают (без учета концентрации напряжений и других факторов, снижающих прочность)

[t] = (0,5 ... 0,6] [s_р]

Кроме проверки на прочность по этой формуле можно также подбирать диаметр вала или определять допускаемый крутящий момент при известных других величинах. Имея ввиду, что для круглого сплошного сечения W_р » 0,2d³.

d = ³Ö(T_к/0,2[t]) = 1,72³Ö(T_к/[t])

6.3. Деформации и перемещения при кручении валов.

При вычислении деформаций вала при кручении воспульзуемся формулой

dj = T_кdz / GI_р

Деформация вала по длине z (взаимный угол повороьа сечений) равна

j = ò₀^zT_кdz / GI_р

Величина GI_р называется жесткостью вала при кручении.

Если T_к и GI постоянны на всей длине вала, тогда

j = T_кz / GI_р

Угол закручивания, приходящийся на еденицу длины, называют относительным углом закручивания. Он равен

q = j / l = T_к / GI_р

Для обеспечения требуемой жесткости вала необходимо, чтобы наибольший относительный угол закручивания не превосходил допускаемого, т.е.

q = T_к / GI_р £ [q]

Эта формула выражает условие жесткости. Здесь [q] ¾ допускаемый относительный угол закручивания в радианах на еденицу длины вала. В большинстве случаев допускаемый относительный угол закручивания задают в градусах на 1 м длины, тогда

q° = (180/p)(T_к / GI_р) £ [q°]

Угол [q] выбирают в зависимости от назначения вала и его размеров. Рекомендуемое для приборостроения [q] < 0,5° на 1 м длины.

Из последнего условия диаметр вала исходя из условия жесткости, учитывая I_р » 0,1d⁴, получаем

d = ⁴Ö(180T_к/pG0,1[q])

6.4. Построение эпюр угловых перемещений при кручении.

Имея формулы для определения деформаций и зная условие закрепления стержня нетрудно определить угловые перемещения сечений стержня и построить эпюры перемещений.

Пример.

Примем сечение в (·) A за условно неподвижное.

Определим поворот B по отношению к A.

j_BA = T_ABl_AB / GI_р

где T_AB ¾ крутящий момент на участке AB.

l_AB ¾ длина участка AB.

Прмем следующее правило знаков для углов поворота сечений: углы j будем считать положительными, когда сечение поворачивается (если смотреть вдоль оси справо-налево) против часовой стрелки. В данном случае j_BA ¾ положительный. Получаем точку K и ее соединяем с E прямой.

Вычислим теперь угол поворота сечения C по отношению к B. Учитывая принятое правило знаков для углов закручивания, получаем

j_CB = -T_BCl_BC / GI_р

Так как сечение B не неподвижное, то угол поворота сечения C по отношению к A равен

j_CA = j_CB -j_BA

j_CA может иметь любой знак.

Предположим, что в данном случае j_CA положительный. Тогда отложив одну величину в принятом мастабе вверх от оси эпюры получим график закручивания на участке BC. На участке CD скручивания не происходит, т.к. здесь крутящие моменты равны нулю. Поэтому там все сечения поворачиваются на столько же на сколько поворачивается сечение C. Участок эпюры здесь горизонтален.

6.5. Концентрация напряжений. Рацинальные формы сечений.

При резком изменении контура поперечного или продольного сечения вала возникает концентрация напряжений.

Обычно влияние концентрации определяется экспериментально и определяется коэффициентом концентрации.

Даются графики для определения коэффициентом концентрации.

Тогда, максимальное касательное напряжение для круглого стержня

t_max = a_tt_н

где t_н = T_к / W_р ¾ номинальное напряжение вычисленное по ?

Влияние концентрации напряжения учитывается:

а) для материалов, склонных к хрупкому разрушению

б) при действии переменных нагрузок

Для двух сечений с одним и тем же полярным моментом сопротивления, а значит и допускаемым крутящим моментом рациональным будет сечение наименьшей площадью. Т.к. отклонение W_р / A ¾ размерное, то для сравнения применяют безразмерную величину

w_p = W_р / ÖA³

Которая называется удельным моментом сопротивления при кручении.

Чем больше w_p, тем рациональнее сечение.

w_p швелер                  = 0,04

w_p кольцо (c=0,9)       = 1,16

Люди также интересуются этой лекцией: 9.0 Луганск в послевоенные годы.

При подборе сечений по жесткости в качестве критерия экономичности ? служит безразмерная величина

j_p = I_р / A²

называется удельным полярным моментом инерции или удельной геометрической характеристикой крушильной жескости.

j_p швелер                    = 0,01

j_p кольцо (c=0,9)        = 1,52

Вывод: необходимо широко применять трубчатые конструкции.