Изгиб. Деформации изгиба
Лекция 7
7.1. Изгиб. Деформации изгиба.
Стержни подвергаются действию поперечной нагрузки или внешних пар сил. При этом
в поперечных сечениях стержня возникают изгибающие моменты (т.е. внутренние моменты, плоскость действия которых перпендикулярна плоскости поперечного сечения стержней). При действии такой нагрузки ось стержня искривляется. Указанный вид напряжения называют изгибом. Стержни, работающие на изгиб, называются балками.
Опоры балок, рассматриваемых как плоские системы, бывают трех основных типов.
1. Подвижная шарнирная опора.
Здесь вращение конца балки и его перемещение вдоль плоскости качения. В ней возникает только одна реакция, проходящая через центр катка.
2. Неподвижная шарнирная опора.
Опора допускает вращение, но устраняет поступательное движение. Возникшую реакцию можно разложить на две составляющие ¾ горизонтальную и вертикальную.
Рекомендуемые материалы
3. Жесткая заделка.
Такое крепление не допускает ни линейных, ни угловых перемещений. Реакция, возникающая раскладывается на вертикальную и горизонтальную и момент защемления (реактивный момент).
7.2. Определение внутренних усилий при изгибе. Правило знаков для изгибающих моментов и поперечных сил.
Для определения внутренних усилий при изгибе (изгибающий момент и поперечная сила) применим метод сечений.
Рассмотрим равновесие левой части.
Взаимодействие внутренних частей заменим внутренними усилиями: изгибающим моментом Mи и поперечной силой Q. Для их определения используем два уравнения равновесия.
1) SY=0; A-F1+Q=0; Q=S(Fi)y
2) SM0=0; Az-F1(Z-Q)-Mи=0
Mи=Sm0(Fc)
Таким образом:
1) Поперечная сила Q в поперечном сечении балки численно равна алгебраической сумме проекций на плоскость сечения всех внешних сил, действующих на одну сторону от сечения.
2) Изгибающий момент в поперечном сечении балки численно равен алгебраической сумме моментов (вычисленных относительно центра тяжести сечения) внешних сил, действующих по одну сторону от данного сечения.
Поперечная сила в сечении балки считается положительной; если равнодействующая внешних сил слева от сечения направлена снизу вверх, а справа сверху вниз, и отрицательной в противном случае.
Изгибающий момент в сечении mn балки считается
положителным, если равнодействующий момент внешних сил слева от сечения направлен по часовой стрелке, справа ¾ против. И отрицательным в противоположном случае.
Есть другое, более удобное для запоминания правило. Изгибающий момент положительный, если в рассматриваемом сечении балка изгибается выпуклостью вниз.
7.3. Построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил.
Рассмотрим пример:
Построить эпюры Mи и Q для балки на рис.
Проводим сечения Z1 и Z2. Изгибающий момент определим, взяв сумму моментов внешних сил справа от сечения
Mи=0
В сечении II-II
MZ2=-F(Z2 - a2)
Знак минус потому что балка изгибается выпуклостью вверх.
Получили уравнение прямой
Mz2 = a2 = 0
Mz2 = a1 + a2 = -Fa1 Mmax=-Fa1 возникает у места заделки
Вычислим поперечную силу в сечении I-I. Проектируя на оси силы справа от сечения получим Qz1=0. Тем же путем Qz2=+F. Знак плюс взят т.к. внешняя сила справа от сечения направлена сверху вниз.
7.4. Определение нормальных напряжений. Условия прочности по нормальным напряжениям.
При деформации балки большие деформации испытывают более удаленные от нейтрального слой. Это слой, не испытывающий при изгибе ни растяжения ни сжатия.
Относительное удлинение волокна
e = Z / r
Z ¾ расстояние от нейтральной оси до рассматриваемого волокна.
r ¾ радиус кривизны нейтрального слоя
Тогда по закону Гука
s = Ee = E(Z / r) (1)
Можно также записать
Mи = EIу / r,
где Iу = òAZ2dA ¾ представляет момент инерции сечения относительно нейтральной оси y. Откуда
1 / r = Mи / EIу (2)
K = 1 / r ¾ кривизна нейтрального слоя, т.е. кривизна оси балки при изгибе прямо пропорционально изгибающему моменту n и обратно пропорционально жесткости (Eiу) балки. Подставляя (2) в (1) получим:
s = Z Mи / EIу
Для обеспечения прочности балки необходимо, чтобы наибольшие растягивающие и наибольшие сжимающие напряжения при исгибе в опасном сечении не превосходили допускаемых.
Обозначив hр и hс ¾ расстояния до наиболее удаленных растянутого и сжатого волокна запишем:
max sр = Mиhр / EIу
max sс = Mиhс / EIу
Для хрупких материалов допускаемые напряжения [sс] > [sр] в 3-5 раз. Поэтому для балок применяют сечения не симметричные относительно нейтральной оси. В указанном случае надо составлять два условия прочности:
max sр = Mи / Wур £ [sр]
max sс = Mи / Wус < [sс]
при симметричном сечении балки
s = (Mи / Iу)(h / 2) £ [s]
Wу = 2Iу / h ¾ осевой момент сопротивления.
Момент сопротивления является геометричесой характеристикой поперечного сечения балки, определяющей прочность при изгибе.
Значения Wу для простейших случаев:
а) прямоугольник
Wx = 2Ix / h = bh2 / 6
б) круг
Wx = 2Ix / d = pd42 / 64d = pd3 / 32 » 0,1d3
в) для кольца
Wx = (pD3 / 32) / (1-c4) = 0,1D3(1-c4)
Допускаемый изгибающий момент определяется
[Mи] £ Wx[s]
7.5. Рациональные формы сечения балок.
Рекомендация для Вас - 4.4. Контроль за выполнением производственной программы.
Для количественной оценки рациональности сечения (при замере материала) служит безразмерная величина
wx = Wx / ÖA3
это осевой удельный момент сопротивления. wx зависит только от формы сечения
круг wx = 0,14
двутавр wx = 1,02-1,51
При подборе сечений балок следуь иметь в виду, что изгибающие моменты изменяются по длине балки. Поэтому в целях экономии материала выгодно применять балки переменного сечения.
