Плоское движение твердого тела

Лекция 6

Краткое содержание: Плоское движение твердого тела. Уравнения плоского движения. Разложение плоского движения на поступательное и вращательное движения. Угловая скорость и угловое ускорение при плоском движении. Скорости точек тела при плоском движении. Мгновенный центр скоростей. Методы нахождения положения мгновенного центра скоростей.

Плоское движение твердого тела

Плоским движением твердого тела называется такое его движение, при котором каждая его точка все время движется в одной и той же плоскости.

Плоскости, в которых движутся отдельные точки тела, параллельны между собой и параллельны одной и той же неподвижной плоскости. Плоское движение твердого тела часто называют плоскопараллельным.  Траектории точек тела при плоском движении являются плоскими кривыми.

Плоское движение твердого тела имеет большое значение в технике. Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси является частным случаем движения твердого тела.

При изучении плоского движения, как и любого другого, необходимо рассмотреть способы задания этого движения, а также приемы вычисления скоростей и ускорений точек тела.

Если в теле провести некоторую прямую О₁О₂, перпендикулярную плоскостям, в которых происходит движение точек, то все точки этой прямой будут двигаться по одинаковым траекториям с одинаковыми скоростями и ускорениями; сама прямая будет, естественно, сохранять свою ориентацию в пространстве. Таким образом, при плоском,  движении твердого тела достаточно рассмотреть движение одного из сечений тела.

Рекомендуемые материалы

Рис. 6-1

Сечение твердого тела будем называть плоской фигурой. Положение фигуры на ее плоскости полностью определяется положением отрезка прямой линии, жестко скрепленной с этой плоской фигурой.

Уравнения плоского движения твердого тела

Для задания положения плоской фигуры на плоскости относительно системы координат  , лежащей в плоскости фигуры, достаточно задать на этой плоскости положение отрезка АВ, скрепленного с фигурой.

Положение отрезка АВ, относительно системы координат  определяется заданием координат какой-нибудь точки этого отрезка и его направления.  Например,  координаты точки А () и направление, заданное углом .

Уравнения движения плоской фигуры относительно системы координат  имеют вид:            .

Твердое тело при плоском движении имеет три степени свободы. 

Функции

называются уравнениями плоского движения твердого тела.

Рис. 6-2

Перейдем к изучению движения отдельной точки твердого тела. Положение любой точки М плоской фигуры относительно подвижной системы отсчета , скрепленной с этой движущейся фигурой и лежащей в ее плоскости, полностью определяется заданием координат  x  и  y  точки М (Рис.6-3).

Рис. 6-3

Между координатами точки М в различных системах отсчета существует связь:

,                      (6-1)

где  - длина отрезка ОМ,   - постоянный угол между ОМ и осью .  С учетом выражений                и       получаем

,               (6-2)

Формулы (6-2) являются уравнениями движения точки  М  плоской фигуры относительно координат   .  Эти формулы позволяют определить координаты любой точки плоской фигуры по заданным уравнениям движения этой фигуры и координатам этой точки относительно подвижной системы отсчета, скрепленной с движущейся фигурой.

Используя матрично-векторные обозначения уравнения (6-2) можно записать в такой форме:

,                                           (6-3)

где  А – матрица поворота на плоскости:

,          ,    ,     .

Разложение плоского движения на поступательное

и вращательное движения.

Теорема.  Любое движение твердого тела, в том числе и движение плоской фигуры в ее плоскости, бесчисленным множеством способов можно разложить на два движения, одно из которых переносное, а другое – относительное. 

В частности, движение плоской фигуры в ее плоскости относительно системы , расположенной в той же плоскости, можно разложить на переносное и относительное движения следующим образом.  Примем за переносное движение фигуры ее движение вместе с поступательно движущейся системой координат  , начало которой скреплено с точкой О фигуры, принятой за полюс. Тогда относительное движение фигуры будет по отношению к подвижной системе координат  вращением вокруг подвижной оси, перпендикулярной плоской фигуре и проходящей через выбранный полюс.

Для доказательства этого достаточно показать, что плоскую фигуру в ее плоскости из одного положения в любое другое можно перевести двумя перемещениями – поступательным перемещением в плоскости фигуры вместе с каким –либо полюсом и поворотом в той же плоскости вокруг этого полюса.

Рис. 6-4

Рассмотрим два любых положения плоской фигуры   1 и 2.  Выделим отрезок АB в рассматриваемой фигуре. Перевод фигуры из положения 1 в положение 2 можно рассматривать как суперпозицию двух движений: поступательного из 1 в 1' и вращательного из 1' в 2 вокруг точки A', называемой обычно полюсом (рис. 6-4а). Существенно, что в качестве полюса можно выбрать любую точку, принадлежащую фигуре или даже лежащую в плоскости вне фигуры. На рис. 6-4б, к примеру, в качестве полюса выбрана точка В. Обратите внимание: длина пути при поступательном перемещении изменилась (в данном случае увеличилась), но угол поворота остался прежним!

Угловая скорость и угловое ускорение тела при плоском движении.

            Для характеристики вращательной части плоского движения твердого тела вокруг подвижной оси, проходящей через выбранный полюс, вводится понятие угловой скорости  и углового ускорения .

        и          ,  где    -  единичный вектор, направленный по оси вращения.

Если угол поворота вокруг подвижной оси, проходящей через полюс, обозначить , то ,  а 

Векторы     и    можно изображать в любых точках подвижной оси вращения, т.е. они являются свободными векторами.

Скорости точек тела при плоском движении

Теорема. Скорость какой-либо точки  фигуры при ее плоском движении равна векторной сумме скорости полюса и относительной скорости этой точки от вращения фигуры вокруг полюса.

Рис. 6-5

Применяя к плоскому движению теорему о сложении скоростей для какой-либо точки В фигуры, получаем  ,  где    - абсолютная скорость точки В плоской фигуры;   -  скорость  точки В  переносного поступательного движения плоской фигуры вместе, например, с точкой А этой фигуры;   - скорость  точки B в относительном движении, которым является вращение плоской фигуры вокруг точки А с угловой скоростью  w.

Так как за переносное движение выбрано поступательное движение вместе с точкой А, то у всех точек плоской фигуры одинаковые переносные скорости, совпадающие с абсолютной скоростью точки А,   т.е.     

Скорость относительного движения, в случае когда оно является вращательным движением,  равна                            

Скорость    расположена в плоскости движущейся фигуры и направлена перпендикулярно отрезку АВ,  соединяющему точку В с полюсом А.  Эту относительную скорость можно выразить в виде векторного произведения     ,  где угловая скорость   считается направленной по подвижной оси вращения, проходящей через точку А и перпендикулярной плоскости фигуры.  Относительную скорость    обозначим  .  Это обозначение показывает, что скорость относительного движения точки В получается от вращения плоской фигуры вокруг подвижной оси, проходящей через точку А, или просто вокруг точки А.

,         где  

Что и требовалось доказать.

Мгновенный центр скоростей

Мгновенным центром скоростей  называется точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю. 

Теорема.  В каждый момент времени при плоском движении фигуры в ее плоскости при    (непоступательное движение), имеется один единственный центр скоростей. 

Для доказательства достаточно указать способ нахождения мгновенного центра скоростей, если известны скорость какой-либо точки О плоской фигуры и ее угловая скорость в рассматриваемый момент времени.

Рис. 6-6

,   ,    ,   следовательно

.

Мгновенный центр скоростей находится на перпендикуляре к скорости  ,  проведенном из точки О, на расстоянии  .

Мгновенный центр скоростей это единственная точка плоской фигуры для данного момента времени. В другой момент времени мгновенным центром скоростей будет уже другая точка.

Возьмем точку Р за полюс  

Так как     ,  то   .  Аналогичный результат получается для любой другой точки плоской фигуры.

                      .

                      .

Скорости точек плоской фигуры определяются в данный момент так, как если бы движение фигуры было вращением вокруг мгновенного центра скоростей.

Скорости точек плоской фигуры пропорциональны их расстояниям до мгновенного центра скоростей.

Методы нахождения положения МЦС

Методы нахождения положения МЦС