Геометрические понятия - кривизна кривой, радиус кривизны, оси естественного трехгранника

Лекция 2

Краткое содержание:  Геометрические понятия: кривизна кривой, радиус кривизны, оси естественного трехгранника. Дифференцирование единичного вектора. Ускорение точки при различных способах задания движения. Частные случаи движения точки.

Геометрические понятия

В точке М кривой линии проведем касательную  Мt. В точке М₁ построим касательную  М₁t_.  Между точками  М и М₁  расстояние  Ds.

В общем случае пространственной кривой касательные Мt  и М₁t_  будут скрещиваться. Проводим в точке М прямую линию Мt₂ параллельную М₁t_. Угол  Dj  между линиями  Мt  и Мt₂  называется углом смежности.

Рис. 2-1

Кривизной кривой k в точке М называется предел, к которому стремится угол смежности, приходящийся на единицу расстояния Ds, при Ds , стремящемся к нулю, т.е.

               (2-1)

Рекомендуемые материалы

Радиусом кривизны кривой r  в точке М называется величина, обратная кривизне кривой в этой точке, т.е.

                    (2-2)

Вычислим радиус кривизны дуги окружности радиуса R.       Дуга окружности длиной s, опирающаяся на центральный угол j, выражается зависимостью        

Рис. 2-2

Через пересекающиеся прямые Мt   и Мt₂  проводим плоскость. Предельное положение этой плоскости при совпадении в пределе точек  М  и  М₁  называется  соприкасающейся плоскостью кривой в точке М.

В случае плоской кривой соприкасающаяся плоскость для всех точек кривой является сама плоскость, в которой расположена эта кривая.

1. Естественный трехгранник

Построим в точке М кривой линии естественные оси этой кривой.

Первой естественной осью является касательная Мt. Ее положительное направление совпадает с направлением единичного вектора  .

Перпендикулярно касательной Мt  располагается нормальная плоскость кривой.   Нормаль, расположенная в соприкасающейся плоскости называется главной нормалью.  По главной нормали Мn  внутрь вогнутости кривой направим единичный вектор  . Он определяет положительное направление второй оси. Нормаль, перпендикулярная главной нормали называется бинормалью.  Положительное направление бинормали определяется единичным вектором   

Три взаимноперпендикулярные оси  Мt,  Мn и Мb называются естественными осями кривой.  Эти оси образуют в точке М естественный трехгранник.

2. Дифференцирование единичного вектора

Вычисление производной от единичного вектора  по времени дает следующий результат            Радиус кривизны считаем положительным.

            Единичный вектор    перпендикулярен вектору ,  направ-ленному по касательной к кривой и лежит в соприкасающейся плоскости. Вектор    направлен по главной нормали кривой в сторону ее вогнутости.

Ускорение точки

Пусть движущаяся точка  М  в момент времени  имеет скорость .  В другой момент времени   эта точка будет занимать положение М₁  и иметь скорость  .  Чтобы изобразить прираще-ние скорости    за время  , перенесем вектор    параллельно самому себе в точку  М.

Рис. 2-3

Средним ускорением точки  за время  называется отношение вектора приращения скорости  к изменению времени  .

                                                      (2-3)

            Ускорением точки  в момент времени  называется предел к которому стремится среднее ускорение при , стремящемся к нулю. Ускорение точки равно первой производной по времени от скорости точки или второй производной по времени от радиус-вектора.

                (2-4)

Ускорение точки в декартовых координатах

Разложим ускорение и скорость точки на составляющие, параллельные осям декартовой системы координат.  Получим

                                        (2-5)

После дифференцирования

                  (2-6)

Отсуда следует

                                                                                                                                                                (2-7)

Проекция ускорения точки на какую-либо координатную ось равна второй производной по времени от соответствующей координаты этой точки.

Модуль ускорения и направляющие косинусы равны:

                (2-8)

                     (2-9)

Если точка движется в плоскости, то, выбрав оси координат Ox  и  Oy  в этой плоскости, получим:

            

Для прямолинейного движения точки координатную ось, например ось Ox,  направляем по траектории. Тогда

         

Ускорение точки при естественном способе задания движения.

Скорость точки равна  .

В соответствии с определением ускорения

.

Или                                                                                                       (2-10)

Таким образом получено разложение вектора ускорения точки по осям естественного трехгранника.

Часть ускорения                                                       (2-11)

называется касательной составляющей ускорения.

Другая часть ускорения                                                     (2-12)

называется нормальной составляющей ускорения.  Она направлена внутрь вогнутости траектории, т.е. в сторону положительного направления единичного вектора главной нормали  .

Формулы для проекции ускорения на естественные оси:

                                  

            

Касательная составляющая  , при    направлена по направлению вектора  ,  при    противоположно  .

Вычисление проекций ускорения точки на естественные оси

Пусть движение точки задано в координатной форме. Проекция ускорения на касательную к траектории равна  ,  алгебраическая скорость с точностью до знака равна модулю скорости  ,  а модуль скорости  равен

. Вычислим первую производную по времени от этого выражения,  получим

Проекция ускорения на нормаль к траектории равна  .

Радиус кривизны  траектории в текущей точке равен  .

Частные случаи движения точки

3. Равномерное движение

При равномерном движении точки по траектории любой формы модуль скорости v=const, следовательно постоянна и алгебраическая скорость  v_t, которая может отличаться от   v  только знаком.

Так как , то .  Если принять при   ,  то после интегрирования получим

  или 

Можно также записать          

4. Равнопеременное движение

Равнопеременным движением называется такое движение точки по траектории любой формы, при котором касательное ускорение постоянно, т.е.  a_t =const  Движение называется равноускоренным если алгебраическая скорость  v_t  и касательное ускорение  a_t  имеют одинаковые знаки. Если v_t  и  a_t  имеют разные знаки, то  назыется  равнозамедленным .  Получим формулы для алгебраической скорости и расстояния при равнопеременном движении.

            Имеем:

,                    .

Если принять при  , то после интегрирования получим

          или  .

Можно также записать                     

Ещё посмотрите лекцию "6. Устойчивость систем" по этой теме.

Далее    и после интегрирования

или  .

Можно также записать                   

Если решить квадратное уравнение, то можно найти  .