Скорость и ускорение точки в полярных координатах

Лекция 3

Краткое содержание: Скорость и ускорение точки в полярных координатах.

Скорость и ускорение точки в полярных координатах

Рассмотрим движение точки в плоскости. В этом случае движение можно задать в полярных координатах. Для этого примем какую-либо точку  О плоскости за полюс и проведем из нее полярную ось, например  ось  Ox.  Положение движущейся точки М на плоскости известно, если заданы радиус  r  и полярный угол  j  как функции времени,  т.е. 

  и  .                                                         (3-1)

Эти уравнения называются  уравнениями движения точки в полярных координатах.  Если  из уравнений  (3-1) исключить параметр - время  t, то получим уравнение траектории в полярных координатах:  .

            Введем единичный вектор  ,  направленный по радиус-вектору от полюса О  к точке  М.  Тогда   .

Для скорости    получаем выра-жение

Рекомендуемые материалы

Производная от единичного вектора по времени равна 

(без доказательства)

  -  единичный вектор,направление которого получается поворотом вектора    на  90⁰  в положительном направлении угла  j .

            После этого для скорости    получаем выражение  

            Это разложение скорости точки на радиальную    и  трансверсальную (поперечную)   составляющие, т.е.

                                     

  -  радиальная скорость;                    -  трансверсальная скорость.

Модуль скорости равен   .

Определим ускорение точки        

После дифференцирования получаем     

Получили  разложение ускорения точки на радиальную    и  трансверсальную (поперечную)   составляющие, т.е.

                       

  -  радиальная скорость;

  -  трансверсальная скорость.

Модуль ускорения равен   .

Частные случаи:

1.         Если   , то имеем прямолинейное движение по прямой  Or .

            В  этом случае   и  

                                    

                                                

2.         Если   , то имеем движение по окружности .

            В  этом случае   и  

                                            

Ещё посмотрите лекцию "10.8. Методика расследования преступлений" по этой теме.

                                              

   -  угловая скорость вращения радиус-вектора,    -   его угловое ускорение.

Скорость и ускорение точки в цилиндрических координатах

            При движении точки в пространстве иногда используются цилиндрические оси координат.

            Положение точки определяется координатами

,     и  .                                       (3-2)