Геометрические понятия - кривизна кривой, радиус кривизны, оси естественного трехгранника
Лекция 2
Краткое содержание: Геометрические понятия: кривизна кривой, радиус кривизны, оси естественного трехгранника. Дифференцирование единичного вектора. Ускорение точки при различных способах задания движения. Частные случаи движения точки.
Геометрические понятия
В точке М кривой линии проведем касательную Мt. В точке М1 построим касательную М1t. Между точками М и М1 расстояние Ds.
В общем случае пространственной кривой касательные Мt и М1t будут скрещиваться. Проводим в точке М прямую линию Мt2 параллельную М1t. Угол Dj между линиями Мt и Мt2 называется углом смежности.
Рис. 2-1
Кривизной кривой k в точке М называется предел, к которому стремится угол смежности, приходящийся на единицу расстояния Ds, при Ds , стремящемся к нулю, т.е.
(2-1)
Рекомендуемые материалы
Радиусом кривизны кривой r в точке М называется величина, обратная кривизне кривой в этой точке, т.е.
(2-2)
Вычислим радиус кривизны дуги окружности радиуса R. Дуга окружности длиной s, опирающаяся на центральный угол j, выражается зависимостью 
Рис. 2-2
Через пересекающиеся прямые Мt и Мt2 проводим плоскость. Предельное положение этой плоскости при совпадении в пределе точек М и М1 называется соприкасающейся плоскостью кривой в точке М.
В случае плоской кривой соприкасающаяся плоскость для всех точек кривой является сама плоскость, в которой расположена эта кривая.
1. Естественный трехгранник
Построим в точке М кривой линии естественные оси этой кривой.
Первой естественной осью является касательная Мt. Ее положительное направление совпадает с направлением единичного вектора 
.
Перпендикулярно касательной Мt располагается нормальная плоскость кривой. Нормаль, расположенная в соприкасающейся плоскости называется главной нормалью. По главной нормали Мn внутрь вогнутости кривой направим единичный вектор 
. Он определяет положительное направление второй оси. Нормаль, перпендикулярная главной нормали называется бинормалью. Положительное направление бинормали определяется единичным вектором 
Три взаимноперпендикулярные оси Мt, Мn и Мb называются естественными осями кривой. Эти оси образуют в точке М естественный трехгранник.
2. Дифференцирование единичного вектора
Вычисление производной от единичного вектора по времени дает следующий результат 
Радиус кривизны считаем положительным.
Единичный вектор перпендикулярен вектору , направ-ленному по касательной к кривой и лежит в соприкасающейся плоскости. Вектор направлен по главной нормали кривой в сторону ее вогнутости.
Ускорение точки
Пусть движущаяся точка М в момент времени имеет скорость 
. В другой момент времени 
эта точка будет занимать положение М1 и иметь скорость 
. Чтобы изобразить прираще-ние скорости 
за время 
, перенесем вектор параллельно самому себе в точку М.
Рис. 2-3
Средним ускорением точки 
за время называется отношение вектора приращения скорости к изменению времени .
(2-3)
Ускорением точки 
в момент времени 
называется предел к которому стремится среднее ускорение при , стремящемся к нулю. Ускорение точки равно первой производной по времени от скорости точки или второй производной по времени от радиус-вектора.
(2-4)
Ускорение точки в декартовых координатах
Разложим ускорение и скорость точки на составляющие, параллельные осям декартовой системы координат. Получим
(2-5)
После дифференцирования
(2-6)
Отсуда следует
(2-7)
Проекция ускорения точки на какую-либо координатную ось равна второй производной по времени от соответствующей координаты этой точки.
Модуль ускорения и направляющие косинусы равны:
(2-8)
(2-9)
Если точка движется в плоскости, то, выбрав оси координат Ox и Oy в этой плоскости, получим:
Для прямолинейного движения точки координатную ось, например ось Ox, направляем по траектории. Тогда
Ускорение точки при естественном способе задания движения.
Скорость точки равна 
.
В соответствии с определением ускорения
.
Или 
(2-10)
Таким образом получено разложение вектора ускорения точки по осям естественного трехгранника.
Часть ускорения 
(2-11)
называется касательной составляющей ускорения.
Другая часть ускорения 
(2-12)
называется нормальной составляющей ускорения. Она направлена внутрь вогнутости траектории, т.е. в сторону положительного направления единичного вектора главной нормали .
Формулы для проекции ускорения на естественные оси:
Касательная составляющая 
, при 
направлена по направлению вектора , при 
противоположно .
Вычисление проекций ускорения точки на естественные оси
Пусть движение точки задано в координатной форме. Проекция ускорения на касательную к траектории равна 
, алгебраическая скорость с точностью до знака равна модулю скорости 
, а модуль скорости равен
. Вычислим первую производную по времени от этого выражения, получим
Проекция ускорения на нормаль к траектории равна 
.
Радиус кривизны траектории в текущей точке равен 
.
Частные случаи движения точки
3. Равномерное движение
При равномерном движении точки по траектории любой формы модуль скорости v=const, следовательно постоянна и алгебраическая скорость vt, которая может отличаться от v только знаком.
Так как 
, то 
. Если принять при 
, то после интегрирования получим
или 
Можно также записать 
4. Равнопеременное движение
Равнопеременным движением называется такое движение точки по траектории любой формы, при котором касательное ускорение постоянно, т.е. at =const Движение называется равноускоренным если алгебраическая скорость vt и касательное ускорение at имеют одинаковые знаки. Если vt и at имеют разные знаки, то назыется равнозамедленным . Получим формулы для алгебраической скорости и расстояния при равнопеременном движении.
Имеем:
, 
.
Если принять при 
, то после интегрирования получим
или 
.
Можно также записать 
Ещё посмотрите лекцию "6. Устойчивость систем" по этой теме.
Далее 
и после интегрирования
или 
.
Можно также записать 
Если решить квадратное уравнение, то можно найти 
.
