Введение в кинематику

КИНЕМАТИКА

1. Лекция 1

Краткое содержание:  Введение в кинематику. Кинематика точки. Понятие траектории. Способы задания движения: векторный, координатный и естественный. Скорость точки при различных способах задания движения.

Введение. Кинематикой называется раздел теоретической механики в котором изучаются движения материальных объектов таких как точка и твердое тело, без рассмотрения причин, вызывающих или изменяющих это движение.

Такое изучение движения материальных объектов не требует учета материальных характеристик этих объектов - массы, моментов инерции и пр.

Движение материальных объектов всегда происходит в пространстве относительно определенной системы отсчета и во времени. Пространство считается трехмерным эвклидовым пространством, свойства которого не зависят от движущихся в нем материальных объектов.

Время в классической механике не связано с пространством и движением материальных объектов. Во всех системах отсчета движущихся друг относительно друга оно протекает одинаково.

В курсе теоретической механики кинематика делится на кинематику точки и кинематику твердого тела.

2. Кинематика точки

Рекомендуемые материалы

В кинематике точки рассматриваются характеристики движения точки, такие, как скорость и ускорение и методы их определения при различных способах задания движения.

Траекторией точки называется геометрическое место ее последовательных положений в пространстве с течением времени относительно рассматриваемой системы отсчета.

Форма траектории может быть прямолинейной или криволинейной и зависит от выбранной  системы координат.

Пример 1.  

С горизонтально летящего относительно Земли самолета сброшен груз. Сопротивление воздуха отсутствует.

Траекторией центра масс груза относительно системы отсчета Oxy, жестко связанной с Землей, будет парабола.  Рис. 1.1а).

Траекторией центра масс груза относительно системы отсчета O₁x₁y₁, жестко связанной с летящим самолетом, будет прямая линия. Рис. 1.1б).

3.

Рис. 1-1

Пример 2.

Колесо радиуса R катится по горизонтальной прямой без скольжения. Точка  А  на ободе колеса совершает сложное движение.

Траекторией точки  А  относительно системы отсчета Oxy, жестко связанной с прямой, будет кривая под названием циклоида.

Траекторией точки  А  относительно системы отсчета O₁x₁y₁, которая движется поступательно и начало отсчета которой находится в центре масс колеса, будет окружность радиуса R, центр которой находится в точке O₁.

4.

Рис. 1-2

Способы задания движения.

Движение точки можно изучать, используя любую систему координат. Рассмотрим три способа задания движения: векторный, координатный  и  естественный.

Векторный способ.

Будем рассматривать случай декартовой прямоугольной системы координат. Движение точки относительно рассматриваемой системы отсчета задано, если известен радиус-вектор    этой точки  как функция времени,  т.е.

                                             (1-1)

Векторный способ обычно применяется для теоретического изложения кинематики точки.

5. Координатный способ.

6. Движение точки можно изучать используя любую систему координат. Рассмотрим случай декартовой прямоугольной системы координат.

7. Движение точки задано, если известны координаты точки, как непрерывные, дважды дифференцируемые функции времени, т.е.

8.                                    ,  ,                                             (1-2)

Уравнения движения есть также уравнения траектории точки в параметрической форме. Параметром является время  t.

                                           (1-3)

Уравнения траектории  в координатной форме получаются из уравнений (1-2) исключением параметра  t. Получаются уравнения двух поверхностей  ,  . Пересечение этих поверхностей дает кривую в пространстве – траекторию точки.

Примеры:

Естественный способ задания движения.

При естественном способе задания движения задаются траектория точки и закон движения точки по траектории. Движение точки рассматривается относительно фиксированной системы отсчета.

Для задания закона движения точки по траектории необходимо выбрать на траектории точку О, принимаемую за начало отсчета. Кроме того, необходимо задать начало отсчета времени.

Рис. 1.3

 - закон движения точки по траектории.

Функция  должна быть непрерывной и дважды дифференцируемой.

От задания движения в декартовых координатах можно перейти к его заданию естественным способом. Закон движения точки по траектории в дифференциальной форме через декартовы координаты выражается в виде

и после интегрирования  -  в конечной форме

если   

Примеры:

9. Скорость точки

Одной из основных характеристик движения точки является ее скорость относительно выбранной системы отсчета.

Скорость точки при векторном способе задания движения

Положение движущейся точки М относительно системы отсчета в момент времени    определяется радиус-вектором .  В другой момент времени   точка займет положение М₁  с радиус-вектором  .  За время    радиус-вектор движущейся точки изменится на  .

Средней скоростью    называется отношение  изменения радиус-вектора   к изменению времени  .

Рис. 1.4                                                                 (1-4)

Скорость точки равна первой производной по времени от ее радиус-вектора.

                           (1-5)

Скорость точки при координатном способе задания движения

Разложим радиус-вектор и скорость на составляющие, параллельные осям координат.  Получим

                                                    (1-6)

После дифференцирования

                                                   (1-7)

Отсуда следует

                                         (1-8)

Проекция скорости точки на какую-либо координатную ось равна первой производной по времени от соответствующей координаты этой точки.

Модуль скорости и направляющие косинусы равны:

                              

Если точка движется в плоскости, то, выбрав оси координат Ox  и  Oy  в этой плоскости, получим:

            

Для прямолинейного движения точки координатную ось, например ось Ox,  направляем по траектории. Тогда

                     

Скорость точки при естественном способе задания движения.

Пусть скорость точки задана естественным способом, т.е. заданы траектория точки и закон ее движения по траектории .

Вычислим скорость точки.

Используем радиус-вектор . движущейся точки, начало которого находится в неподвижной точке   

  - единичный вектор, направленный по касательной к траектории в сторону возрастающих расстояний.

Бесплатная лекция: "21 Эквивалентные схемы вращательных механических систем" также доступна.

Рис. 1.5

                                            (1-9)

При    направления векторов    и    совпадают.  Если точка движется в сторону убывающих расстояний, то    и направления векторов    и   противоположны.

При    вектор скорости направлен по , т.е. в сторону возрастающих расстояний;  при    он имеет направление, противоположное , т.е. в сторону убывающих расстояний.

   - алгебраическая скорость точки,  проекция скорости  на положительное направление касательной к траектории.

Естественное задание движения точки полностью определяет скорость по величине и направлению.