Решениe задачи теории упругости в перемещениях и напряжениях
3.5 Решениe задачи теории упругости в перемещениях и напряжениях
Нами получены следующие уравнения:
а) статические (1.30);
б) геометрические (2.2);
в) физические (3.9).
В этих 15 уравнениях являются неизвестными: шесть компонентов напряжений (
, 
, 
, 
, 
, 
), шесть компонентов деформаций (
, 
, 
, 
, 
, 
).и три компонента перемещений (u, 
, 
),
т. е. тоже 15. Таким образом, с математической точки зрения задача может быть разрешена и сводится к нахождению 15 функций, удовлетворяющих 15 уравнениям, а также условиям на контуре. Для составления уравнений на контуре, воспользуемся зависимостями (1.16) приняв kx = kv = kz. = 0 и, обозначив давление внешней нагрузки на площадку через Pxv, Pyv и Pzv.
;
;
.
Рекомендуемые материалы
Кроме того, имеются 6 уравнений (2.3) неразрывности деформаций, которые используются как контрольные.
Решение этих задач выполняется двумя путями: в перемещениях
и в напряжениях. В некоторых случаях используется комбинированный способ.
При решении задачи в перемещениях уравнения (В) и (Б) преобразуют, выражая напряжения через перемещения. Поверхностные условия изменяют, заменяя напряжения через перемещения.
Если задача решается в напряжениях, неизвестные выражают
в напряжениях.
Решение задач теории упругости, как правило, очень сложно.
Решить 1 дифференциальное уравнение сложно, а 15 в большинстве случаев нельзя. Поэтому вводят различные упрощающие допущения.
Контрольные вопросы
Вместе с этой лекцией читают "8.9 Исторические личности, ключевые даты и основные понятия".
1. Сколько компонентов и каких являются неизвестными при решении задач теории упругости? Перечислите их.
2. Сколько уравнений можно составить? Назовите их.
3. Как учитывается нагрузка, действующая на контуре?
4. В чем решаются задачи теории упругости?
5. Для чего служат уравнения неразрывности деформаций?
