Основные уравнения теории пластичности
3.6 Основные уравнения теории пластичности
Нагрузки на конструкцию могут быть сколь угодно сложными (сосредоточенные силы или пары сил, равномерно или неравномерно, прерывно или непрерывно распределенные как по наружной поверхности, так и внутри тела и т. д.), но нагружение будет считаться простым, если все компоненты нагрузок, начав с нуля, возрастают все одновременно и так, что соотношения между компонентами нагрузок в любой момент времени сохраняются неизменными, т. е. все внешние силы возрастают пропорционально общему параметру. Если указанного неизменного отношения между внешними силами соблюдаться не будут (например, часть сил начала действовать ранее других и т. п.), то такое нагружение будет сложным.
При одноосном напряженном состоянии при увеличении главного напряжения будет расти деформация. Такую деформацию считают активной.
При сложном напряжённом состоянии в точке деформацию считают активной, если интенсивность напряжения в данный момент возрастает, если же снижается, то деформацию считают пассивной.
Инженерная практика перед теорией пластичности ставит две основные задачи:
1) обстоятельные исследования хода развития упруго-пластических деформаций и поля напряжений в исследуемой конструкции;
2) выяснение параметров несущей способности конструкции.
Согласно теореме Ильюшина, зависимость при простом нагружении между интенсивностью напряжения и интенсивностью деформации представляет собой степенную функцию:
,
Рекомендуемые материалы
где А и m — коэффициенты, устанавливаемые экспериментально для каждого материала.
Математический аппарат теории пластичности можно представить совокупностью трёх статических уравнений (1.30), шестью геометрических соотношениями (2.2), шестью физическими уравнениями.
(3.17)
Обозначив , эти уравнения можно переписать следующим образом:
(3.18)
Для упруго-пластического и не подчиняющегося закону Гука упругого нагружения, существует зависимость:
;
где — функция, зависящая от деформации. В пределах действия закона Гука она равна 0.
Интенсивность деформаций равна:
;
С учётом уравнений интенсивности напряжений и интенсивности деформаций будет 18 уравнений с 18 неизвестными. Решение этих задач весьма затруднительно.
Решение задачи значительно упрощается, если принимается предположение об идеальной пластичности материала (пластичность без упрочнения). В таком случае вместо 6 физических уравнений принимается одно уравнение — условие пластичности , если придерживаться энергетических представлений о началах наступления пластических деформаций, в данной точке; или форме , если ту же причину приписывать роли наибольшего касательного напряжения.
Контрольные вопросы
1. Какое основное отличие теории пластичности от теории упругости?
2. Какое нагружение считается простым и какое сложным в теории пластичности?
3. Напишите формулу Ильюшина.
Обратите внимание на лекцию "6 Реализация проекций в OpenGL".
4. Какие уравнения из теории упругости применимы в теории пластичности? Какие неприменимы и почему?
5. Напишите формулы зависимости деформаций от напряжений в теории пластичности.
6. Напишите формулу интенсивности деформаций.
7. Чему равным принимается интенсивность напряжений, если придерживаться энергетической гипотезе прочности, и чему, если придерживаться гипотезе наибольших касательных напряжений?
8. Сколько неизвестных компонентов может быть при решении задач теории пластичности? Перечислите их.
9. Сколько и каких уравнений можно составить при решении задач теории пластичности? Перечислите их.