Напряжения в наклонных сечениях при плоском напряженном состоянии
1.4 Напряжения в наклонных сечениях при плоском напряженном состоянии
Напряженное состояние называется плоским, если одно из главных напряжений равно нулю.
Определим нормальные и касательные напряжения в наклонном сечении (см. рис. 1.9).
Их можно представить как сумму нормальных и касательных напряжений, возникающих отдельно от и .
,
где и — нормальные напряжения в наклонной площадке, возникающие соответственно от и .
Рисунок 1.9
Рекомендуемые материалы
Значение можно определить по формуле (1.1), так как угол между напряжением и нормалью n-n составляет , а — по формуле (1.3), так как угол , но в формулу вместо нужно подставить :
(1.5)
Аналогично для касательных напряжений:
Значение находится по формуле (1.2), — по формуле (1.4)
с заменой и .
;
(1.6)
Из формулы (1.5) следует, что наибольшие касательные напряжения будут при ; ; .
(1.7)
Наибольшие касательные напряжения возникают в площадках под углом и равны половине разницы главных напряжений.
Преобразуем формулу (1.5). Учитывая, что , а , получим
(1.8)
Формулы (1.6) и (1.8) удобно исследовать с помощью круга Мора. Для этого преобразуем эти формулы, возведем в квадрат и сложим
;
.
Получим следующее уравнение
Это уравнение изображается окружностью, центр которой имеет координаты
и ,
а радиус
.
По этим данным строится окружность (на рис.1.10 для определенности принято, что ). Очевидно,
ОА = ; ОВ = ;
ОС = ;
ВС = СА = .
Чтобы найти по чертежу величины и для наклонной площадки, заданной углом , достаточно через точку В, соответствующую главному напряжению , провести прямую BD под углом к оси . В пересечении с окружностью получится точка D, координаты которой изображаются отрезками ОЕ и ЕD. По чертежу легко находим, что
ОЕ = ОС + СЕ = + ;
ЕD = .
Отрезок ОD изображает полное косое напряжение .
Меняя угол и наблюдая за перемещением точки D по окружности, можно отметить следующие характерные особенности данного напряженного состояния. Подчеркнем, что рассматриваются только такие наклонные площадки, которые перпендикулярны к третьей главной площадке.
1. Главное напряжение является наибольшим возможным для данной задачи; оно соответствует площадкам, характеризуемым углом , т. е. параллельным 1-й главной площадке.
2. Главное напряжение является наименьшим возможным для данного семейства площадок: оно соответствует площадкам, параллельным 2-й главной площадке.
3. Наибольшее по абсолютной величине касательное напряжение численно равно полуразности главных напряжений и :
.
Эти напряжения изображаются точками Т и Т1 круговой диаграммы. Соответствующие площадки составляют углы с 1-й и 2-й главными площадками.
4. Напряжения на взаимно перпендикулярных площадках изображаются двумя точками D и D1 диаграммы, расположенными по концам одного диаметра. Отсюда следует, что
.
Формула выражает приведенный выше закон взаимности (парности) касательных напряжений.
Рисунок 1.10
Рисунок 1.11
Необходимо обратить внимание на тот факт, что слова «наибольшее» и «наименьшее» в пп. 1 и 2 данных выводов следует понимать
в алгебраическом, а не в арифметическом смысле.
Здесь разобран случай двустороннего растяжения, когда . Нетрудно убедиться, что в случае двустороннего сжатия (рис. 1.11 б) или в случае смешанного двухосного напряженного состояния (рис.1.11 а) аналитический вид формул остается без изменения.
Контрольные вопросы
Рекомендация для Вас - Оборудование общего назначения.
1. Что такое плоское напряженное состояние?
2. Чему равны нормальные и касательные напряжения при плоском напряженном состоянии?
3. В каких площадках возникают и чему равны наибольшие касательные напряжения?
4. Как построить круг Мора для плоского напряженного состояния?
5. Как определить нормальные и касательные напряжения по кругу Мора для наклонной площадки?