Напряжения в наклонных сечениях при плоском напряженном состоянии

1.4 Напряжения в наклонных сечениях при плоском напряженном состоянии

Напряженное состояние называется плоским, если одно из главных напряжений равно нулю.

Определим нормальные и касательные напряжения в наклонном сечении (см. рис. 1.9).

Их можно представить как сумму нормальных и касательных напряжений, возникающих отдельно от  и .

,

где  и  — нормальные напряжения в наклонной площадке, возникающие соответственно от  и .

Рисунок 1.9

Рекомендуемые материалы

Значение  можно определить по формуле (1.1), так как угол между напряжением и нормалью n-n составляет , а  — по формуле (1.3), так как угол , но в формулу вместо  нужно подставить :

                                (1.5)

Аналогично для касательных напряжений:

Значение  находится по формуле (1.2), — по формуле (1.4)
с заменой  и .

;

                           (1.6)

Из формулы (1.5) следует, что наибольшие касательные напряжения будут при ; ; .

                                         (1.7)

Наибольшие касательные напряжения возникают в площадках под углом  и равны половине разницы главных напряжений.

Преобразуем формулу (1.5). Учитывая, что , а , получим

              (1.8)

Формулы (1.6) и (1.8) удобно исследовать с помощью круга Мора. Для этого преобразуем эти формулы, возведем в квадрат и сложим

;

.

Получим следующее уравнение

Это уравнение изображается окружностью, центр которой имеет координаты

 и ,

а радиус

.

По этим данным строится окружность (на рис.1.10 для определенности принято, что ). Очевидно,

ОА = ; ОВ = ;

ОС = ;

ВС = СА = .

Чтобы найти по чертежу величины  и  для наклонной площадки, заданной углом , достаточно через точку В, соответствующую главному напряжению , провести прямую BD под углом  к оси . В пересечении с окружностью получится точка D, координаты которой изображаются отрезками ОЕ и ЕD. По чертежу легко находим, что

ОЕ = ОС + СЕ =  + ;

ЕD = .

Отрезок ОD изображает полное косое напряжение .

Меняя угол  и наблюдая за перемещением точки D по окружности, можно отметить следующие характерные особенности данного напряженного состояния. Подчеркнем, что рассматриваются только такие наклонные площадки, которые перпендикулярны к третьей главной площадке.

1. Главное напряжение  является наибольшим возможным для данной задачи; оно соответствует площадкам, характеризуемым углом , т. е. параллельным 1-й главной площадке.

2. Главное напряжение  является наименьшим возможным для данного семейства площадок: оно соответствует площадкам, параллельным 2-й главной площадке.

3. Наибольшее по абсолютной величине касательное напряжение численно равно полуразности главных напряжений  и :

.

Эти напряжения изображаются точками Т и Т₁ круговой диаграммы. Соответствующие площадки составляют углы  с 1-й и 2-й главными площадками.

4. Напряжения на взаимно перпендикулярных площадках изображаются двумя точками D и D₁ диаграммы, расположенными по концам одного диаметра. Отсюда следует, что

.

Формула выражает приведенный выше закон взаимности (парности) касательных напряжений.

Рисунок 1.10

Рисунок 1.11

Необходимо обратить внимание на тот факт, что слова «наибольшее» и «наименьшее» в пп. 1 и 2 данных выводов следует понимать
в алгебраическом, а не в арифметическом смысле.

Здесь разобран случай двустороннего растяжения, когда . Нетрудно убедиться, что в случае двустороннего сжатия (рис. 1.11 б) или в случае смешанного двухосного напряженного состояния (рис.1.11 а) аналитический вид формул остается без изменения.

Контрольные вопросы

Рекомендация для Вас - Оборудование общего назначения.

1. Что такое плоское напряженное состояние?

2. Чему равны нормальные и касательные напряжения при плоском напряженном состоянии?

3. В каких площадках возникают и чему равны наибольшие касательные напряжения?

4. Как построить круг Мора для плоского напряженного состояния?

5. Как определить нормальные и касательные напряжения по кругу Мора для наклонной площадки?