Колебания и волны в плазме

тема 6

колебания и волны в плазме

лекция 10

Колебания и волны в плазме

1. Колебания в холодной плазме

Холодной называется плазма, у которой газовое давление мало по сравнению с магнитным:

                                      .

Если это условие выполнено, то при рассмотрении большинства вопросов, относящихся к колебаниям плазмы, можно полностью пренебречь тепловым движением и рассматривать только усредненное движение под действием внешних полей. Будем пренебрегать также столкновениями и всеми процессами, приводящими к затуханию колебаний, то есть к диссипации энергии.

Теория колебаний холодной плазмы заключается в совместном рассмотрении уравнений движения проводящей среды и уравнений Максвелла.

Рекомендуемые материалы

Применяя операцию  к обоим частям уравнения:

                                        ,

получим:

                                   .

Подстановка уравнения:

                             

даёт:

                        .

Раскрывая операцию  по формулам векторного анализа, приходим к результату:

                     .

В плоской волне любая величина  зависит от координат и времени как:

                             ,

где  – комплексная амплитуда.

Фазовая скорость волны , групповая скорость . В анизотропных средах частоты связаны не только с величиной, но и с направлением волнового вектора, то есть дисперсионное уравнение имеет вид:

                                   ,

где , и  – составляющие волнового вектора.

В линейном приближении уравнения для комплексных амплитуд  имеют такой же вид, что и для величин . Для плоской волны имеем:

                                 , ;

                                      , .

Тогда можно записать:

              .                     (1)

При рассмотрении линейных колебаний лагранжеву производную  можно заменить частной  и в произведении  пренебречь собственным полем волны , то есть заменить  на постоянное внешнее магнитное поле . Уравнение движения плазмы принимает вид с учетом сделанных допущений:

                                      .                                             (2)

Обобщенный закон Ома запишем в виде:

                     .                            (3)

Система уравнений (2) и (3) совпадает с системой уравнений магнитной гидродинамики для идеального проводника, из которых выброшены силы давления. В соответствии с этим приближение холодной плазмы называют иногда гидродинамическим приближением.

Введём характерные частоты:

- плазменную частоту ,

- циклотронные частоты    .

Если не пренебрегать массой электрона по сравнению с массой иона, то плазменная частота определяется так:

                                       ,

где , .

Учитывая условие электронейтральности , получим:

                                .

Эта величина настолько мало отличается от электронной плазменной частоты, что в дальнейшем не будем их различать. Тогда:

                       ,                              (4)

где  – единичный вектор в направлении магнитного поля.

Рассмотрение и описание всех типов колебаний в холодной плазме сводится к совместному решению системы уравнений (1), (2) и (4). При выводе этой системы сделаны следующие допущения:

1) плазму считаем полностью ионизованной;

2) амплитуды всех переменных величин в волне полагаются малыми, чтобы можно было пренебречь всеми квадратичными членами (линейное приближение);

3) тепловое (газовое) давление считается малым по сравнению с магнитным давлением (приближение холодной плазмы);

4) пренебрегаем всеми диссипативными процессами (приближение идеальной плазмы;

5) отбрасываются члены порядка отношения массы электрона к массе иона. Это допустимо, если приближение проведено аккуратно в математическом отношении.

2. Волны в плазме без магнитного поля

Если магнитное поле отсутствует, то уравнение (4) сводится к виду:

                                      ,

соответственно из уравнения (1) получим:

                       ,

где .

Произвольную волну в плазме без магнитного поля можно разложить на две составляющие: продольную () и поперечную (). Для продольной волны , тогда из полученного соотношения следует: . Это электростатические плазменные колебания, которые в случае холодной плазмы возможны только на фиксированной плазменной частоте.

Для поперечных волн , тогда .

Полученное выражение – дисперсионное уравнение для распространения электромагнитных волн в плазме без магнитного поля. Распространение волн возможно при . Для  волновое число становится мнимым, то есть волна отражается от границы плазмы. Фазовая скорость:

                                .

В области, где фазовая скорость вещественна (), она всегда больше скорости света и при приближении к плазменной частоте стремится к бесконечности. Групповая скорость:

                                     ,

то есть .

Групповая скорость всегда меньше скорости света. При частотах        как фазовая, так и групповая скорости стремятся к скорости света: волна распространяется, как в пустоте. При стремлении частоты волны к плазменной частоте фазовая скорость стремится к бесконечности, а групповая – к нулю.

3. Распространение волн при наличии магнитного поля

Кажущаяся простой система векторных уравнений оказывается в действительности для произвольного направления распространения волн довольно громоздкой.

Рассмотрим сначала несколько простых случаев:

а) при распространении волны поперек магнитного поля или при распространении вдоль магнитного поля, как показывает анализ, колебания с электрическим полем, поперечным магнитному, отщепляются, то есть представляют собой независимые ветви колебаний. Магнитное поле на эти ветви колебаний не действует.

Для колебаний с электрическим полем, параллельным магнитному полю, когда , выполняется условие . Это значит, что колебания, поляризованные вдоль магнитного поля и распространяющиеся продольно, представляют собой электростатические плазменные колебания.

Для волн, распространяющихся поперек магнитного поля, не поляризованных вдоль него, дисперсионное уравнение имеет вид:

                                     .

Эта ситуация тождественна рассмотренной при отсутствии магнитного поля.

Рассмотренные типы колебаний, поляризованные вдоль магнитного поля и распространяющиеся вдоль и поперек него, являются единственными, на которые магнитное поле в приближении холодной плазмы не действует.

б) Магнитогидродинамические волны.

Рассмотрим волны, распространяющиеся вдоль магнитного поля при произвольном направлении поляризации. Такую волну можно разложить на две независимые волны, у одной из которых электрическое поле параллельно, а у другой – перпендикулярно к магнитному. Волна, у которой как направление распространения, так и направление поляризации параллельны внешнему магнитному полю, в холодной плазме вырождается в плазменные колебания фиксированной частоты .

Перейдём теперь к волне, распространяющейся вдоль магнитного поля, но поляризованной поперёк него. Для этой волны , тогда:

                            .                                   (*)

Рассмотрим сначала предельную область очень низких частот . Для этой области получается очень простое дисперсионное уравнение:

                                     ,

откуда фазовая скорость волны:

               ,

где  – плотность плазмы.

Такие волны называются альфвеновскими или магнитогидродинамическими, а скорость  – альфвеновской скоростью.

Пренебрегая током смещения, то есть членом  в уравнении (*), запишем:

                                      ,

то есть .

Предельная область  полностью описывается уравнением магнитной гидродинамики, и формулу для  легко получить из модели идеально проводящей области. Запишем линеаризованное уравнение движения:

                                      ;

или:

                                   .

Следовательно:

                                 .

Используя далее условие идеальной проводимости , и учитывая, что , получим дисперсионное уравнение:

  ,

                                 ,

или:

                                               .

Тогда фазовая скорость:

                                 .

Условие  обеспечивает вмороженность магнитного поля.

Рассмотрим физическую картину магнитогидродинамических волн. Они могут рассматриваться как поперечные колебания силовых линий вместе с плазмой, в которую они вморожены. В области низких частот            (), магнитогидродинамические волны распространяются с поперечной скоростью, то есть дисперсия отсутствует и групповая скорость равна фазовой.

Чтобы можно было пренебречь током смещения, необходимо, чтобы . Преобразуем это условие к виду:

                                      ,

то есть магнитная энергия плазмы должна быть мала по сравнению с энергией поля. При малой плотности плазмы или очень сильном магнитном поле это условие может не выполняться. В этих случаях простое дисперсионное уравнение должно быть заменено более сложным соотношением. Если для волн, распространяющихся вдоль магнитного поля, условие  не выполняется, то возникает дисперсия и проявляются гиротронные свойства плазмы. Дисперсионное уравнение имеет вид:

                                   .

Для квадрата показателя преломления плазмы получим:

                       ,

откуда следует, что при двух частотах, обращающих в ноль знаменатель, . Эти частоты называются резонансными (или частотами аномальной дисперсии). Частоты аномальной дисперсии равны электронной и ионной циклотронным частотам. Особенностью таких волн является круговая поляризация, поэтому их называют волнами с круговой поляризацией. Двум знакам в дисперсионном уравнении отвечают две волны, вращающиеся в противоположных направлениях. Одна из них называется обыкновенной волной. У обыкновенной волны электрический вектор вращается в том же направлении, как и отрицательный заряд в магнитном поле.

Суперпозицией двух волн, поляризованных по кругу в противоположных направлениях, можно получить линейно поляризованную волну. Но в области  способны распространяться только необыкновенные волны и, следовательно, линейная поляризация невозможна. При частотах ниже ионной циклотронной, но близких к ней, обыкновенная и необыкновенная волны распространяются с разными скоростями и, следовательно, линейно поляризованная волна расщепляется на две волны с круговой поляризацией. Но при частотах  скорости распространения обыкновенной и необыкновенной волн различаются настолько мало, что расщепление линейно поляризованной волны происходит очень медленно, поэтому приближенно оно может быть описано как медленное вращение плоскости поляризации (эффект Фарадея). В связи с этим применительно к области низких частот () говорят о магнитогидродинамических волнах, которые могут быть поляризованы произвольным образом в плоскости, перпендикулярной к направлению распространения.

Волны с круговой поляризацией (геликоны) имеют существенное значение в физике ионосферы, где они проявляются в виде низкочастотных радиопомех.

Рассмотрим структуру волн с круговой поляризацией.

Анализ показывает, направление тока  совпадает с направлением электрического поля волны , то есть . Скорость движения вещества  всегда перпендикулярна как направлению внешнего магнитного поля, так и направлению тока в волне, то есть движение вещества происходит в плоскости, перпендикулярной к направлению распространения и под углом 90⁰ к направлению тока и электрического поля, то есть вдоль направления переменного магнитного поля волны .

Волны, распространяющиеся вдоль внешнего магнитного поля, имеют круговую поляризацию. Это относится и к полям, и к токам, и к скорости движения вещества плазмы.

С уменьшением частоты  вращение векторов вокруг направления внешнего магнитного поля замедляется и в пределе получается магнитогидродинамическая волна.

в) Рассмотрим волны, распространяющиеся перпендикулярно к внешнему магнитному полю. В этом случае волна, поляризованная вдоль поля, отщепляется, поэтому будем рассматривать волны, у которых поляризация перпендикулярна к внешнему магнитному полю. Такие волны имеют уже эллиптическую поляризацию.

Рассмотрим область очень низких частот . В этом случае эллиптическая поляризация вырождается в линейную поляризацию. Дисперсионное уравнение имеет приближенный вид:

                                      ,

что совпадает с уравнением для магнитогидродинамических волн.

Таким образом, при очень низких частотах волны в плазме распространяются как параллельно к магнитному полю, так и перпендикулярно с одной и той же альфвеновской скоростью, однако структура этих волн различна.

Для волн, распространяющихся поперёк магнитного поля, структура следующая. Если направить ось z вдоль внешнего магнитного поля, а ось x – вдоль направления распространения волны, то ток и электрическое поле волны направлены по оси y, а гидродинамическая скорость  – по оси x. Таким образом, волна является поперечной в электродинамическом смысле, но продольной в гидродинамическом. Переменное магнитное поле волны  параллельно внешнему магнитному полю . Процесс колебаний можно рассматривать как периодическое сжатие и расширение плазмы вместе с вмороженным в неё магнитным полем. По физическому механизму этот процесс аналогичен распространению звука, вследствие чего он и называется магнитным звуком.

При частотах  скорость распространения магнитного звука не зависит от частоты аналогично обычной акустике. Эту область малых частот называют магнитоакустической областью. При частотах порядка и выше ионной циклотронной при том же механизме возникает дисперсия. В этой области частот волны остаются магнитнозвуковыми, но не являются уже магнитоакустическими.

При рассмотрении дисперсии магнитного звука необходимо найти частоты аномальной дисперсии. Частоты аномальной дисперсии магнитного звука при распространении точно поперёк магнитного поля называют гибридными частотами . Верхняя гибридная частота определяется выражением:

                                        ,

её иногда называют электронно-плазменной гибридной частотой.

Вторая гибридная частота приближённо равна ():

                                        .

Если , то:

                                        .

При уменьшении плотности плазмы возникает довольно широкая промежуточная область, в которой выполнены неравенства                         .
В этой области:

                                        .

Более общий результат при условии  имеет вид:

                         .

Вторая гибридная частота зависит в основном от электронной и ионной циклотронных частот, вследствие чего её называют электронно-ионной гибридной частотой. Если плазма содержит несколько сортов ионов, то возникают ещё ион-ионные гибридные частоты, каждая из которых лежит между двумя ионными циклотронными частотами.

При приближении к гибридной частоте наблюдается дисперсия: показатель преломления возрастает, а фазовая скорость уменьшается. При частотах выше электронно-ионной гибридной частоты магнитно-звуковые волны не могут проникать в холодную плазму точно поперёк магнитного поля. При ещё более высоких частотах поперечное распространение вновь становится возможным вблизи электронно-плазменной гибридной частоты, то есть в области электромагнитных волн. Волны, распространяющиеся точно вдоль или поперек постоянного внешнего магнитного поля, называют прямыми. Для общего случая волн, распространяющихся под произвольным углом к внешнему магнитному полю (косые волны), приходится использовать тензорные соотношения.

Отметим, что в области, где поперечное распространение запрещено, магнитный звук может распространяться в виде косых волн, то есть малое отклонение от строго поперечного направления распространения снимает ограничения, наложенные гибридной частотой.

4. Влияние теплового движение на распространение волн в плазме

Если понимать буквально приближение холодной плазмы, то есть приписывать электронам и ионам только упорядоченные скорости, то из всех диссипативных процессов должны рассматриваться только передача импульса между электронами и ионами, то есть конечная проводимость. Диссипация, связанная с этими процессами, есть обычное джоулево тепло. Все остальные диссипативные процессы связаны с тепловым движением.

Необходимо отметить, что эти процессы становятся весьма существенными, когда фазовая скорость волны приближается к скоростям теплового движения частиц. Поэтому вблизи частот аномальной дисперсии, где фазовая скорость стремится к нулю, приближение холодной плазмы становится непригодным даже при очень низких температурах.

Для бегущей волны волновое число k заменяется на комплексное волновое число . Вблизи частот аномальной дисперсии при конечной проводимости показатель преломления уже не обращается в бесконечность. Вещественная его часть сохраняет конечное значение, мнимая же часть, характеризующая затухание, резко возрастает. При возрастании проводимости область частот, где происходит существенное затухание, сужается, но максимальное значение мнимой части волнового числа возрастает. В этом смысле частоты аномальной дисперсии обладают резонансными свойствами, поэтому их и называют резонансными частотами. Резонансные свойства частот аномальной дисперсии проявляются ещё сильнее, если учесть не только столкновения, но и тепловое движение. Уменьшение фазовой скорости волны с приближением к частотам аномальной дисперсии приводит к увеличению числа частиц, движущихся в резонансе с волной, то есть с тепловой скоростью, равной фазовой скорости волны. При частотах аномальной дисперсии сколь угодно слабое тепловое движение уже приводит к резонансному поглощению энергии. Таким образом, к затуханию из-за конечной проводимости добавляются ещё весьма существенные кинетические резонансные эффекты.

Для приближенного описания влияния теплового движения в уравнения усреднённых скоростей вводят силы давления. При этом принимают, что электронное давление действует только на электроны, а ионное – только на ионы. Взаимодействие же между ними, то есть электронами и ионами, описывается, как в модели двух жидкостей, эффективным числом соединений, то есть электрическим сопротивлением. Такой метод описания движения плазмы называется гидродинамическим приближением. Если при этом рассматривать предельный случай идеальной проводимости, то взаимодействие между электронами и ионами вообще не учитывается: они движутся друг сквозь друга как две независимые жидкости. Конечная проводимость, то есть взаимодействие между электронами и ионами, приводит  к затуханию колебаний.

Гидродинамическое описание колебаний плазмы неточно в двух отношениях:

Если Вам понравилась эта лекция, то понравится и эта - Лекция-беседа 4.

- во-первых, давление полагается изотропным, в то время как в разреженной плазме давление может быть не скаляром, а тензором;

- во-вторых, гидродинамическое приближение не описывает специфического затухания колебаний, связанного с диссипацией без столкновений, при котором волна передаёт свою энергию частицам, у которых составляющая скорости теплового движения вдоль направления распространения близка к фазовой скорости волны. Этот  вопрос может быть  рассмотрен только методами физической кинетики.

В обычном газе из нейтральных частиц возмущения давления передаются и распространяются как звуковые волны. В плазме волны подобного рода сопровождаются разделением зарядов. Если магнитное поле отсутствует, то волновые движения происходят под действием градиентов давления и электрического поля, возникающего от разделения зарядов. С понижением температуры эти движения переходят в электростатические плазменные колебания на фиксированной частоте, не зависящей от волнового числа, то есть не являются распространяющимися волнами. При высоких температурах, где тепловое (газовое) давление значительное, плазменные колебания переходят в распространяющиеся волны. В этих волнах действуют одновременно электростатические силы (как в плазменных колебаниях) и силы давления (как в звуке). Поэтому иногда их называют плазменными, а иногда – электрозвуковыми волнами. Таким же образом происходит распространение плазменных волн вдоль внешнего магнитного поля. В этом направлении поперечные (магнитогидродинамические и электромагнитные) волны распространяются независимо от продольных электрозвуковых волн. При распространении волн поперек внешнего магнитного поля силы газового давления складываются с силами магнитного давления. Возникают ускоренные магнитно-звуковые волны, которые  с понижением температуры переходят в магнитно-звуковые колебания холодной плазмы. При распространении под косым углом к магнитному полю, кроме ускоренных, возможны также и замедленные магнитно-звуковые волны.

В плазме могут распространяться обычные звуковые волны, для которых разделением зарядов и электрическим током можно пренебречь Такие волны называют ионным звуком. Скорость распространения звуковых волн без разделения зарядов определяется формулой:

                            ,

то есть она определяется температурой электронов  и ионов  и массой ионов. Электронная температура входит с множителем z, потому что это число электронов на один ион.