Перепутанные состояния, их физический смысл
ЛЕКЦИЯ 12. Перепутанные состояния, их физический смысл.
1. Составные квантовые системы, двухкомпонентные коррелированные системы. Роль ПС в квантовых алгоритмах. Примеры: ионы в ловушках, коррелированные ядерные спины в молекулах, атом в оптическом резонаторе.
2. Определение (I) перепутанных состояний. Пример приготовления двухчастичного ПС. Редуцированная матрица плотности компонент ПС. Состояния Белла, как частный случай ПС.
3. Оптическая реализация ПС. Отдельные фотоны и квадратурные компоненты поля. Спонтанное параметрическое рассеяние (СПР) света, волновая функция СПР, амплитуда бифотона, корреляционные свойства.
4. Перепутывание по времени, временная пост-селекция. Пространственно-частотные, поляризационно-частотные, поляризационно-угловые ПС. Амплитудная пост-селекция.
5. Перепутывание состояний с непрерывными переменными. Квадратурные компоненты поля. Реализация ПС с помощью светоделителя и квадратурно-сжатых полей. ПС поляризационно-сжатых полей.
Впервые понятие «перепутанных» состояний было введено Э.Шредингером в его работе от 29 ноября 1935г «Cовременное состояние квантовой механики». Известно, что появление этой статья было вызвано работой А.Эйнштейна, Б.Подольского и Н.Розена «Может ли квантово-механическое описание реальности быть полным?» (15 мая 1935г.) с дополнением, написанным Н.Бором. Русскоязычный перевод статьи Э.Шредингера появился в журнале Успехи химии в 1936г. Соответственно, первое упоминание термина «перепутанные состояния» на русском языке относится к этому переводу. Я придерживаюсь этого термина, следуя хронологическим соображениям[1]. Шредингер ввел понятие перепутанных состояний для описания состояния совокупной или составной системы, которая состоит из нескольких частей. Причем части общей системы могут быть пространственно разнесены.
Рассмотрим источник, испускающий пары частиц так, что одна из них (присвоим ей индекс 1) летит налево, а другая (индекс 2) - направо. Потребуем, чтобы сохранялась сумма импульсов частиц. Введем дополнительную параметризацию. Каждая частица может полететь и вверх (назовем это состоянием 
) и вниз (
). Но всякий раз сумма импульсов сохраняется. Если первая частица полетела налево вниз, то вторая полетит направо вверх. Или если первая частица полетела налево вверх, то вторая - направо вниз.
Рекомендуемые материалы
Полное состояние, которое приготавливает источник, записывается в виде суперпозиции двух “возможностей”:
(12.1)
Коэффициенты сi (i = 1, 2) - это (комплексные) амплитуды двух “альтернатив”. Их физический смысл состоит в том, что соответствующие квадраты модулей 
определяют вероятности обнаружить пару частиц в состояниях 
, либо 
. Состояние (12.1) - пример т.н. перепутанного состояния двух частиц Позже будет дано четкое определение таких состояний и рассмотрены количественные меры перепутывания. Мы будем оперировать с разными видами перепутанных состояний. Например - ионы в ловушках, ядерные спины в молекуле при электронном парамагнитном резонансе, состояния атом-поле в резонаторе и др.
В прошлом семестре мы неоднократно рассматривали перепутанные состояния, когда говорили о простейших квантовых логических элементах, (в частности об операции CNOT), при выводе неравенств Белла. Напомню, что по определению перепутанными считаются состояния составной системы, которые не могут быть представлены в виде произведения волновых функций, описывающих ее части по отдельности. Так, для двухкомпонентной системы перепутанное состояние:
(12.2)
Примером ПС служат т.н. состояния Белла. Они замечательны тем, что проецирование одной части системы в одно из двух возможных состояний, другая часть «мгновенно» приобретает определенное значение, несмотря на то, что она могла быть удалена на произвольное расстояние. Этот факт и был основной причиной, побудившей Эйнштейна к переосмыслению основных положений квантовой механики. Определение (12.2) не очень хорошо тем, что оно не содержит позитивного утверждения. Я умышленно вынесу математические аспекты в отдельную часть лекции, поскольку считаю, что в настоящее время математическое развитие квантовой информации и квантовых вычислений далеко опережает состояние дел в эксперименте и зачастую термины и понятия, используемые в математических кругах, не имеют четкого операционального смысла. Перед тем как перейти к физической стороне проблемы, я бы отметил важное свойство ПС, которое, опять же обсуждалось нами ранее. Оно состоит в том, что для чистых перепутанных состояний (т.е. тех, которые описываются ВФ) полное знание состояния составной системы не предполагает полного знания состояний подсистем. Т.е. иногда вообще бессмысленно говорить о ВФ подсистем, поскольку они представляют собой некогерентную смесь, т.е. их можно описать классически в терминах статистической физики. Например, рассмотрим состояние Белла
(12.3)
системы, рассмотренной в начале лекции, когда 
. Чтобы найти матрицу плотности какой-нибудь подсистемы надо взять след по индексам другой системы от совместной матрицы плотности:
(12.4)
Получаем:
(12.5)
Тогда
, (12.6)
т.е. представляет собой взвешенную смесь. Следовательно, состояние второй подсистемы нельзя описывать волновой функцией; оно не является полностью определенным. Аналогично, матрица плотности первой подсистемы находится как след по индексам второй подсистемы:
. (12.7)
Говоря о перепутанных состояниях, мы, таким образом, выделяем следующие их атрибуты:
n наличие параметра, принимающего ряд фиксированных значений для каждой из подсистем;
n наличие корреляций между двумя подсистемами по этому параметру, или в более общем случае - синхронности флуктуаций этого параметра;
Сформулируем еще одно определение перепутанных состояний для двух подсистем:
Перепутанными называются две подсистемы между которыми существуют квантовые корреляции по параметру, принимающему по крайней мере два значения для каждой из подсистем. Измерение состояния одной из подсистем однозначно определяет (проецирует) состояние другой. Совместное состояние двух подсистем тогда называется перепутанным.
Обращаю внимание, что корреляции должны носить квантовый характер, т.е. их нельзя описать классически. В противном (классическом) случае даже полные (т.е. 100%-ые) корреляции не дают результатов, к которым ведет использование истинных перепутанных состояний - например, нарушение неравенств Белла.
Замечу также, что для трех подсистем однозначного определения перепутанных состояний ввести не удается. Связано это с тем, что в случае измерения состояния одной из подсистем две оставшиеся могут либо принять определенные значения (определение 1), либо оказаться в перепутанном состоянии (определение 2). К первому случаю, например, относится состояние ГХЦ трех кубитов: 
. Как было показано в предыдущей лекции это же состояние, но записанное в XY- базисе (т.е. +450-450) имеет вид: 
, т.е. подпадает под второе определение. В то же время, ясно, что два определения относятся к совершенно различным физическим системам - в этом состоит одно из проявлений “парадокса ГХЦ”!
В этой лекции разговор, в основном, пойдет об оптической реализации ПС. На сегодняшний день именно оптические ПС удается приготовить с высоким качеством. Здесь под качеством я понимаю те признаки по которым можно судить о перепутанных состояниях в определенных экспериментах. Конкретно, имеются в виду эксперименты по двухфотонной интерференции, где видность интерференции четвертого по полю порядка непосредственно связана с качеством перепутанных состояний.
Для оптических систем различают ПС между отдельными фотонами и между квадратурными компонентами электромагнитного поля. В первом случае говорят о дискретных переменных, во втором - о непрерывных. Оба случая реализуются в процессе параметрического рассеяния света. В случае дискретных переменных используется спонтанный режим, когда пары фотонов излучаются в широком спектральном диапазоне (5-20нм) и практически не перекрываются в пространстве-времени. В случае непрерывных переменных используется режим параметрического усиления: кристалл, генерирующий пары фотонов помещается в резонатор, который работает как элемент обратной связи, т.е. и как фильтр частот.
Наиболее качественные ПС получаются при спонтанном режиме, т.е. для дискретных переменных.
Напомню, что в результате спонтанного параметрического рассеяния в нелинейной среде возникают пары коррелированных фотонов. Закон сохранения импульса (в нелинейно-оптических экспериментах его иногда называют условием фазового синхронизма) приводит к пространственной корреляции фотонов. Закон сохранения энергии дает жесткую корреляцию между частотами родившихся фотонов. Анизотропия среды накладывает строгие ограничения на поляризацию фотонов. Замечу, что понятие «корреляция» нужно уточнять в каждом конкретном эксперименте. Так, в нестационарном режиме, т.е. при использовании коротких импульсов накачки, когда ширина спектра накачки сравнима с шириной спектра СПР уже нет смысла говорить об однозначной связи частот сигнального и холостого фотонов – эта связь определена лишь с точностью до ширины спектра накачки:
, где Wp – центральная частота в спектре накачки.
Аналогично, при рассеянии в ограниченных (в поперечном, либо в продольном направлениях) средах, импульс сохраняется с точностью до расстройки, обратно пропорциональной соответствующему масштабу среды. Поэтому игнорирование частотной или угловой формы линии параметрического рассеяния может привести к заметным погрешностям в процессе приготовлении перепутанных состояний. Иногда для их предотвращения используют процедуры т.н. пространственной или частотной пост-селекции, когда часть состояний отфильтровывается, не принимается в рассмотрение.
Статистические свойства СПР рассматривались в одной из предыдущих лекций.
Состояние света при СПР представляется в виде
(12.8)
где 
- вакуумное состояние, величина 
называется амплитудой бифотона, а 
- состояние с одним (сигнальным) фотоном в моде k и одним (холостым) фотоном в моде kў. Смысл величины состоит в том, что квадрат ее модуля дает вероятность регистрации двух фотонов в двух поляризационных модах k и kў. Видно, что состояние (12.8) не факторизуется, а если рассматривать лишь два слагаемых в сумме (12.8), получим двух-компонентную (bipartite) систему из которой можно приготовить состояния Белла.
Итак, опираясь на пример спонтанного параметрического рассеяния света, рассмотрим разные типы перепутанных состояний, которые можно получить при рассмотрении разных мод k и kў.
1. Состояния, перепутанные по времени (энергия -время).
Такой тип ПС был впервые предложен Дж.Фрэнсоном. Он основан на том, что сигнальный и холостой фотоны рождаются практически одновременно, с точностью до ширины спектра накачки. Однако каждый из них имеет конечный спектр, определяемый дисперсией и размерами кристалла. Сумма частот сигнального и холостого фотонов равна частоте накачке, т.е. остается постоянной для всех сопряженных спектральных компонент бифотонного поля. Суть схемы, предлженной Фрэнсоном состоит в следующем (Рис.1). Бифотоны генерируются в частотно-вырожденном неколлинеарном режиме при синхронизме типа I. При этом на пути сигнального и холостого фотона помещается по одинаковому разбалансированному интерферометру Маха-Цандера. Разность длин плеч должна превышать длину когерентности излучения СПР, которая при синхронизме типа I определяется второй производной закона дисперсии в окрестности половины частоты накачки:
(12.9)
Интерференция в каждом из каналов не возникает, поскольку задержка превышает длину когерентности. Однако, при регистрации совпадений между детекторами, стоящими в разных плечах возможно наблюдение интерференции (четвертого порядка по полю). Это ясно из вида волновой функции, которая описывает состояние пары фотонов:
(12.10)
Здесь символы S и L обозначают короткое и длинное плечо соответствующего интерферометра. Состояние (12.19) - факторизованное, поскольку представляет собой прямое произведение состояний сигнального и холостого фотонов:
(12.11)
Но если регистрировать только факт одновременного прихода сигнального и холостого фотонов, что можно сделать, выбрав окно схемы совпадения меньше, чем задержка, возникающая между S и L путями в интерферометре, то последние два слагаемых в (12.10) исчезнут. Это - т.н. временная пост-селекция, когда отфильтровываются события, не принадлежащие определенному интервалу времени. В итоге состояние пары фотонов принимает нефакторизованный вид и отвечает суперпозиции
. (12.12)
Такое ПС есть когерентная суперпозиция двух вкладов, когда оба фотона прошли по коротким плечам интерферометров, либо оба - по длинным плечам. Варьируя фазовые задержки, можно наблюдать интерференцию четвертого порядка.
2. Частотно-пространственные ПС (или перепутывание по импульсу).
Частотно-угловые ПС. Рассмотрим неколлинеарный невырожденный режим СПР, когда поляризация обоих фотонов одинакова (синхронизм типа I). Для малых частотных отстроек сигнального и холостого фотонов от половины частоты накачки:
(12.13)
можно выделить такие направления рассеяния q, qў, в которых излучаются как сигнальный фотон с частотой 
, так и холостой фотон с частотой 
. При этом двухфотонная часть вектора состояния будет иметь вид
(12.14)
Это состояния Белла Y±, где перепутанными являются частотные и угловые степени свободы. Такие состояния (Белла) еще не были реализованы в эксперименте. Манипуляции с частотно-пространственными ПС осуществлялись в работах Д.Рарити и П. Тапстера.
3. Поляризационно-частотные ПС.
1. В этом случае будем говорить о нефакторизованных состояниях вида
(12.15)
(12.16)
где перепутаны частотные и поляризационные моды. На практике такие состояния получаются в интерференционной схеме, показанной на рисунке 2.
В каждом плече интерферометра Маха-Цандера генерируется СПР в частотно-невырожденном, коллинеарном режиме, с синхронизмом типа I (Рис.3). В левом плече поляризация обоих фотонов поворачивается на 900 при помощи полу-волновой пластинки. Таким образом бифотоны, поступающие на поляризационный светоделитель, имеют ортогональные поляризации, что позволяет совместить их в одном пучке без потерь. Состояние света после светоделителя имеет вид (12.15). Фаза между компонентами состояния определяется задержкой e, вносимой смещением зеркала М. Для получения состояния Белла 
необходимо выполнить унитарные преобразования состояний 
состоящие в повороте базиса. Подробно об этих преобразованиях будет рассказано на следующей лекции, которую мы договорились посвятить математическим аспектам перепутанных состояний. Сейчас заметим, что поворот базиса на 450 осуществляет преобразование 
. Другими словами состояние Белла 
в лабораторном базисе (H,V) тождественно состоянию Белла 
в 450-ом базисе (X, Y). Такое преобразование осуществляется пластинкой l/2, ориентированной под углом 22.50.
Синглетное состояние 
не имеет аналога в вырожденном по частоте режиме, так как оно антисимметрично по отношению к перестановке фотонов в паре. Это значит, что состояние
(12.17)
n единственное из состояний Белла, которое меняет знак при перестановке индексов 1 и 2. Оставшиеся три состояния - триплетные - симметричны к перестановке индексов. Для приготовления этого состояния в эксперименте использовалась специальная фазовая пластинка из кристаллического кварца (QP), толщина которой удовлетворяла следующему условию: набег фаз между обыкновенной и необыкновенной волной на частоте w отличается от соответствующего набега фаз на частоте w¢ на p. Если на входе в такую пластинку имеется состояние 
, а ее оптическая ось ориентирована вертикально или горизонтально, то состояние после пластинки, с точностью до несущественной общей фазы, будет 
. Для получения состояния фаза e в интерферометре устанавливалась равной p, так что на выходе из интерферометра получалось состояние 
. В базисе XY, повернутом на p/4 относительно базиса HV, как уже говорилось, состояние 
переходит в : 
. Пластинка QP устанавливалась на выходе из интерферометра так, что ее оптическая ось была ориентирована по направлению X. После пластинки состояние в базисе XY превращалось в . Забегая вперед, отмечу, что синглетное состояние Белла инвариантно к любым преобразованиям базиса.
4. Поляризационно-угловые ПС. Этот тип ПС является в настоящее время самым распространенным. Сигнальный и холостой фотоны излучаются под различными углами q, q¢ к волновому вектору накачки, причем для каждого из них поляризация не задана, однако имеется корреляция (перепутывание) между поляризациями. Двухфотонная часть вектора состояния имеет при этом вид
(12.18)
или
, (12.19)
где символы H и V обозначают горизонтальную и вертикальную поляризацию. Такие состояния были впервые реализованы за счет использования неколлинеарного частотно-вырожденного синхронизма типа II (Рис.4). Специфика ПС, приготавливаемых таким методом состоит в том, что в излучение СПР необходимо вносить групповую задержку между фотонами V и H поляризациями. Связано это с тем, что из-за дисперсии кристалла, в котором происходит генерация бифотонов, фотоны с обыкновенной поляризацией распространяются быстрее, чем с необыкновенной. Обратная ширина спектра СПР как раз и определяется этой величиной
. (12.20)
Здесь в скобках стоит разница обратных групповых скоростей необыкновенной и обыкновенной волн в нелинейном кристалле. Чтобы состояние (12.18) на выходе из кристалла было чистым, необходимо уничтожить возникшую в кристалле задержку, сделать вклады V и H поляризаций “неразличимыми”, т.е. добиться того, чтобы задержка между ними не превышала времени когерентности (12.20). Добиться этого можно, вводя после кристалла двулучепреломляющий элемент (пластинку из кристаллического кварца, например), которая компенсирует задержку:
(12.21)
Впоследствии была предложена более удобная схема (Рис.5), при которой аналогичные состояния получались при интерференции бифотонов, рождающихся в двух последовательно расположенных кристаллах с синхронизмом типа I. На выходе такой схемы генерируется ПС вида (12.19), которое легко можно преобразовать ко всем четырем состояниям Белла. В частности, переход к состояниям вида (12.18) осуществляется с помощью полу-волновой пластинки, ориентированной под углом 450, помещенной в одну из угловых мод.
Перепутанные состояния квадратурных компонент поля
В заключение, рассмотрим оптический метод получения ПС непрерывных переменных. Типичные представители квантовых непрерывных переменных являются координата и импульс (частицы). Мы будем использовать тот факт, что одна поперечная мода квантованного электромагнитного поля излучения формально описывается так же, как и гармонический осциллятор.
Гамильтониан классического гармонического осциллятора имеет вид:
(12.22)
При квантово-механическом рассмотрении переменным x и p ставятся в соответствие операторы:
(12.23)
которые удовлетворяют коммутационному соотношению:
(12.24)
Гамильтониан квантованного гармонического осциллятора принимает вид:
(12.25)
где использована связь между операторами координаты, импульса и повышающим (а+) и понижающим (а) операторами:
(12.26)
(12.27)
Для операторов а+ и а действуют обычные коммутационные соотношения:
(12.28)
(12.29)
(12.30)
(12.31)
Символ 
обозначает n-ое возбужденное состояние осциллятора, N - оператор числа частиц. Спектр собственных значений осциллятора дискретен: 
Оператор электрического поля в точке r связан с операторами рождения и уничтожения фотонов. Если интересоваться только одной поперечной модой с частотой 
и одной поляризацией, то оператор электрического поля принимает вид:
, (12.32)
где L - размер ящика квантования. В общем виде, если рассматривать поле в начале координат (r = 0) и объединяя несущественные коэффициенты в один - Е0, получаем оператор поля в виде:
(12.33)
При квантовании поля по аналогии с гармоническим осциллятором, вводятся операторы X и P:
(12.34)
. (12.35)
Соответственно, обратные преобразования дают
(12.36)
. (12.37)
В терминах операторов X и P, оператор поля приобретает вид
(12.38)
Собственные значения X и P оператора поля называются квадратурными компонентами. Их часто интерпретируют как синфазная и противофазная компоненты по отношению к фазе локального генератора (осциллятора). Коммутационные соотношения для них имеют вид:
. (12.39)
Отсюда сразу следуют соотношения для флуктуация квадратурных компонент:
, (12.40)
из которых следует, что квадратурные компоненты не могут быть измерены одновременно и с произвольной точностью.
У сжатых состояний поля неопределенность одной из квадратурных компонент больше, чем у другой. На фазовой плоскости такие состояния изображаются эллипсами, вытянутыми вдоль X или Y осей.
Наконец, рассмотрим способ получения перепутанных состояний в непрерывных переменных. Пусть во входные моды неполяризационного светоделителя поступают поля Е1 и Е2, соответственно сжатые в X и P направлениях. (Я не рассматриваю случай т.н. поляризационного сжатия, когда подавлены флуктуации какого-нибудь параметра Стокса). Представим идеальную ситуацию, когда сжатие максимально, т.е. X1 = P2 = 0. Коэффициент сжатия определяется как отношение радиуса когерентного кружка к короткой полуоси эллипса неопределенности. В настоящее время (Mlynek) рекордное значение коэффициента сжатия составляет 20 (если не учитывать квант. эффективность детектора) и 30 (если учитывать). Для поляризационного сжатие коэффициент равен 3 (Bohar).
Поля на входе светоделителя
Поля на выходе светоделителя
(12.41)
Тогда 
.
В лекции "12 Три способа определения движения точки" также много полезной информации.
Из последнего соотношения следует условие перепутанности состояний координат и импульсов (квадратурных компонент) в выходных модах светоделителя:
(12.42)
Из (12.42) следует, что свойства 
частиц (полей) не определены. Вместо этого определены их совместные свойства. Заметим, что хотя операторы X и P не коммутируют, операторы 
коммутируют из-за знака
“-“! Поэтому для перепутанного состояния совместные свойства могут быть измерены одновременно с любой точностью (как и для операторов 
).
Если же исходные поля были приготовлены не в максимально-сжатом состоянии, то условие (12.42) не выполняется. Таким образом качество приготовления сжатых состояний существенно определяет качество конечного перепутанного состояния в непрерывных переменных.
[1] Встречаются также термины «запутанные», «сцепленные», «переплетенные», которые на мой взгляд не многим лучше «перепутанных». В немецком языке термин «Verschrankung», использованный Шредингером, обозначает сильное переплетение, как при крепком рукопожатии. Английский перевод «entangled states» тоже вряд ли стоит считать удачным, поскольку в нем потерян первоначальный смыл «крепкого рукопожатия».
