Анализ линейных электрических цепей при несинусоидальном напряжении источника питания

4.5 Анализ линейных электрических цепей при несинусоидальном напряжении источника питания.

Известно, что к линейным электрическим цепям применим метод наложения. В соответствии с этим запись периодическо­го несинусоидального напряжения источника энергии рядом Фурье дает возможность представить его несколькими после­довательно соединенными и одновременно действующими ис­точниками ЭДС или напряжений и осуществлять анализ элек­трического состояний цепей на основе метода наложения.

Например, рассмотрим электрическую цепь (рис. 4.5 а), в кото­рой к источнику с несинусоидальной ЭДС подключены последовательно резистивный, индуктивный и ем­костной элементы.

С учетом вышесказанного, в рассматриваемой электриче­ской цепи ЭДС  e(t) может быть представлена тремя ЭДС (рис. 4.5.б).

Графики E_o(t), а также e₁(t) и e₂(t) изображены на рис. 4.6. В соответствии с методом наложения данная электри­ческая цепь рассчитывается как цепь, в которой действуют три независимые ЭДС. При этом определение тока и напряжений от ЭДС Е_о осуществляется, как при расчете цепей постоянного тока, а от ЭДС e₁(t) и e₂(t) — как при расчете цепей синусоидально­го тока.

При расчете цепи от ЭДС e₂(t) и ЭДС более высших гар­моник необходимо производить пересчет значений X_l и X_c, так как они зависят от частоты

X_Lk= kωL; X_Ck= 1/kωC

В анализируемой электрической цепи постоянная соста­вляющая ЭДС не вызывает установившегося тока, так как сопротивление емкостного элемента при постоянном токе рав­но бесконечности.

Рекомендуемые материалы

Определяем ток и напряжение в электрической цепи с ЭДС e₁(t) и e₂(t).

Для первой гармоники

,

    где          ;      

В общем случае  , тогда ,

а для первой гармоники                ;

 Для второй гармоники                           ;

 Где                     ;

;

;

Напряжение U_r, резистивного элемента совпадает по фазе с током цепи и в общем случае:

, а так как , то  т.е. ,

где   

Аналогично могут быть определены значения u_L   и   u_C :

;

.

Определение гармонических составляющих токов i₁ и i₂, а также напряжений U_r, U_L  и U_C можно также осуществить с ис­пользованием комплексных чисел.

Пример 4.3. Несинусоидальная ЭДС - е(t) линейной электрической цепи рис. 4.6.а, изменяется по закону е(t)= 200 + 180sin(ωt - 30˚) + 120sin3ωt. Параметры цепи: r = 6 Ом, X_L=ωL= 2 Ом, X_С= 1/ωC=18 Ом. Определить мгновенное, действующее значение тока в цепи и действующее значение напряжения на участке цепи ab.

Решение. По отношению к постоянной составляющей ЭДС  Е₀ = 200В сопротивление конденсатора равно бесконечности, т.е. X_C= 1/ωC = 1/ 0∙C= ∞. Следовательно, постоянная составляющая тока I_a= 0,

Расчет первой гармоники:

полное сопротивление цепи

угол сдвига фаз между ЭДС e₁ и током

20΄

так как  , то

20΄

амплитуда и действующее значение первой гармоники тока

мгновенное значение тока

действующее значение напряжения на участке ab

Расчет третьей гармоники:

полное сопротивление цепи

т. е. для данной гармоники наблюдается резонанс напряжений, а, сле­довательно, угол сдвига фаз между ЭДС е₃ и током:

амплитуда и действующее значение тока

мгновенное значение тока

действующее значение напряжения на участке ab

Расчет общего тока:

Вам также может быть полезна лекция "Управление интернационализацией бизнеса".

мгновенное значение тока в цепи

действующие значения тока в цепи и напряжения на участке аb

В ряде случаев при проведении практических расчетов пе­риодические несинусоидальные ЭДС и напряжения  представляют эквивалентными синусоидами. Подобная замена осуществляется так, чтобы действующее значение экви­валентной синусоиды ЭДС или напряжения равнялось действующему значению несинусоидальной величины.