Волновые явления на границе раздела двух сред

Раздел 7.  Волновые явления на границе раздела двух сред.

7.1. Плоские волны произвольной ориентации.

         В предыдущих параграфах мы рассматривали плоские волны, распространяющиеся вдоль осей декартовой системы. Признаком распространения является .

Предполагаем, что среда без потерь.

где  ,                (1)

Рекомендуемые материалы

Косинусы углов, определяющих направление волны, называются направляющими.

Уравнение фазовой плоскости (=const):      

Где       (2)

Тогда скалярное произведение:

         (3)

   (4)

         Мы предполагали, что среда без потерь. В случае среды с потерями соотношения не меняются, только вместо k подставляется g =b — ja. Перед началом рассмотрения волновых явлений дадим ряд определений.

         Плоскость, проходящая через нормаль к границе раздела и параллельно направлению распространению волны, называется плоскостью падения. Вектор  перпендикулярен направлению распространения волны, а относительно плоскости падения волны он ориентирован произвольным образом.

         Не теряя обобщенности рассуждений, достаточно рассмотреть два случая ориентации .

1.)  перпендикулярен плоскости падения (нормальная поляризация)

2.)  параллелен плоскости падения (параллельная поляризация)

         При произвольной ориентации вектора , он может быть представлен как суперпозиция двух этих случаев.

7.2. Падение плоской волны на границу раздела двух диэлектриков.

Вводное замечание.

Рассмотрим падение плоской волны на плоскую границу раздела сред. Среды предполагаются без потерь. Будем полагать, что плоскость падения совпадает с плоскостью xOy декартовой системы координат. Угол между направлением распространения и осью x называется углом падения. Граница раздела сред совпадает с плоскостью yOz. Направляющие косинусы будут определяться следующим соотношением:

т.е. фазовый множитель:

     где   

7.3. Нормальная поляризация.

В общем случае:         (1)

          (2)

В данном случае вектор  направлен так же как ось у.

Фазовый множитель : 

;         

Можно записать уравнение падающей волны. Подставляя предыдущие замечания в уравнения (1) и (2), получим:

       (3)

      (4)

В общем случае, в результате падения волны на границу, падающая волна полностью или частично отражается или преломляется.

         Естественно предположить, что отраженная и преломленная волны являются также плоскими, линейно поляризованными. Полагаем, что направление распространения падающей, отраженной и преломленной волн находится в плоскости xOz. Полагаем, что отраженная и преломленная волны, так же как и падающая, являются нормально поляризованными. Тогда для отраженной и преломленной волн можно записать:

          (5)

   (6)

                     (7)

   (8)

где ;     .

В данном случае являются известными характеристики падающей волны j, . Искомыми являются j¢, j_n, , . Если в результате решения задачи нам удастся получить решение, которое удовлетворяет следующим граничным условиям:           

;   (9)

то, в соответствии с теоремой единственности, найденное решение будет верным и единственно возможным. Соотношения (9) должны выполняться во всех точках границы раздела, которая совпадает с осью z, т.е. при любых z граничные условия (9) должны выполняться. Это возможно, если падающая, отраженная и преломленная волны имеют одинаковую зависимость по z.

    (10)

   (11)

Учитывая, что угол j¢ имеет пределы , а угол j имеет пределы , мы делаем заключение, что:

    (12)

При анализе подобных задач обычно предпочитают пользоваться не углом j¢, а дополняющим углом j_о — углом отражения:

   (13)

Подставляя соотношение (13) в (12), получим:   (14)— первый закон Снелиуса.

         Воспользуемся соотношением (11) из которого следует, что:

            (15)

(16)

Соотношение (15), записанное в форме (16), называется вторым законом Снелиуса.

Отношение синуса угла отражения к синусу угла падения равно относительному коэффициенту преломления. Граничное условие (9) записывается следующим образом:

, x = 0              (17)

, x = 0            (18)

где учтено, что тангенциальные компоненты в первой среде образуются падающей и отраженной волнами, а тангенциальные компоненты во второй среде образуются преломленными волнами. Подставляя в соотношения (17), (18) соответствующие компоненты из соотношений (3) — (8), получим:

, x=0     (19)

,x=0       (20)

Учитывая одинаковую зависимость по z, можно отметить, что все фазовые множители одинаковые и их можно сократить. Кроме того, , получим:               (21)

         (22)

Амплитуда отраженной и преломленной волн пропорциональна , т.е. ,  — коэффициент отражения,  — коэффициент преломления.

      (23)

Решая эту систему, получим:

          (24)

Коэффициенты отражения и преломления часто называют коэффициентами Френеля.

         В соотношении (24) угол преломления можно исключить, используя закон Снелиуса.

Теперь можем записать результирующее поле в первой и второй средах, где учтено, что  и :

         Выражения для R и T справедливы, если одна или обе среды обладают конечной проводимостью.

7.4. Параллельная поляризация.

         Рассмотрим плоскую, линейную, поляризованную волну. Вектор  находится в плоскости падения (так же как и в первом случае).

Выражения для падающей, отраженной и преломленной волн:

, х £ 0         (1)

, х £ 0                   (2)

Аналогично для отраженной и преломленной волн:

, х £ 0      (3)

, х £ 0        (4)

, х ³ 0       (5)

, х ³ 0      (6)

Неизвестными являются j¢, j_n, , . Они могут быть найдены в результате решения граничной задачи:

;            (7)

В данном случае соотношение (7) записывается следующим образом:

, х = 0              (8)

, х = 0            (9)

Соотношения (7), (8), (9) должны выполняться во всех точках границы раздела, т.е. при любых значениях координаты z. Это возможно, если составляющие поля отраженной, падающей и преломленной волн имеют одинаковую зависимость от z,

 т.е.        (10)

     (11)

Пусть падающая волна параллельна полязизованной. В общем случае волна распадается на отраженную волну  и преломленную.

Из соотношений (10), (11) следуют законы Снелиуса:     

т.е. законы Снелиуса инвариантны (безразличны) к поляризации падающей волны.

         Подставим соотношения (8), (9) в соответствующие выражения для проекций поля:

        (12)

      (13)

Из соотношений (10), (11) следует, что все экспоненты равны. Сокращаем их и получаем:

   (14)

            (15)

Тогда соотношения (14), (15) можно переписать:

   (16), (17)

Решая систему, получим:

           (18),(19) –

 коэффициенты Френеля для параллельной поляризации.

Косинус j можно исключить:       

         Если сравнить коэффициенты Френеля для нормальной и параллельной поляризации, то можно отметить, что для разных поляризаций коэффициенты Френеля различны.

         Получим выражения для результирующего поля в первой и второй средах для параллельной поляризации:

, х £ 0    (20)

, х £ 0           (21)

, х ³ 0               (22)

, х ³ 0                                    (23)

В том случае, если плоская волна падает по нормали к плоскости раздела, понятие плоскости падения теряет смысл. В этом случае углы падающий, отраженный и преломленный равны нулю и выражения для коэффициентов Френеля упрощаются:

7.5. Условия полного прохождения волны во вторую среду.

Угол Брюстера.

         В случае эффекта полного преломления волна в первую среду не отражается и коэффициент отражения равен нулю.

         Рассмотрим случай параллельной поляризации( получим условия полного отражения волны):

                           (1)

          (2)

Выражая косинусы угла падения через синусы и, возводя правую и левую части в квадрат, получим:

            (3)

Для реальных диэлектрических сред выполняется равенство:

      (4)

Тогда:                 (5)

Вспоминая известное тригонометрическое тождество: , получаем:                      (6)

Угол  называется углом Брюстера.

         В том случае, если в диэлектрических средах магнитные проницаемости не совпадают, то условие существования угла Брюстера определяется следующим неравенством:

Рассмотрим случай нормальной поляризации:       

Выражая  и  через  и возводя в квадрат, получим:

Выражая , получим:

Вынося  из числителя и знаменателя и раскрывая ее через параметры среды, получим:

            (7)

Из соотношения (7) следует, что в этом случае существование полного преломления возможно, если         (8)

Будем полагать, что                              (9)

 Получим:                                       (11)

Если же в этой среде , то существование угла Брюстера определяется следующим неравенством:

         Полное внутреннее преломление на границе диэлектрических сред с соотношениями  и  возможно только в случае параллельной поляризации. Волны, нормально поляризованные, от границы раздела двух диэлектриков отражаются при любых условиях.

                 7.6. Полное отражение от границы раздела двух сред.

Две диэлектрические среды.

         Определим условия, при которых на границе раздела сред отсутствует преломленная волна, т.е. возникает эффект полного внутреннего отражения. Угол преломления изменяется в пределах . Значение угла падения, при котором угол преломления равен 90°, называется критическим углом.

                      (1)

                  (2)

При дальнейшем увеличении угла падения, когда  следует ожидать, что при любой поляризации падающей волны коэффициент отражения будет равен единице. Покажем это:

Тогда при  должно соблюдаться неравенство:

           (2¢)

При реальных значениях угла  это неравенство невозможно. Поэтому для того, чтобы  был больше единицы, предположим, что  является комплексной величиной. Тогда:

          (3)

  (4)

- число мнимая величина.

Этим свойством мы и воспользуемся. Для того чтоб соотношение (2`) выполнялось надо, чтобы:

,

т.е.              (5)

Тогда при .

Вновь вернемся к соотношениям для коэффициентов отражения для нормальной и параллельной поляризации.

   (6)

 (6’)

Тогда для коэффициента отражения можно записать обобщенное соотношение:                   , где a и b некоторые действительные коэффициенты.

Найдем модуль:

так как при :                               (7)

                (8)

Из (7) и (8) следует, что плотность потока энергии одинакова в падающей и отраженной волнах.

7.7.Условия возникновения полного внутреннего отражения.

1 условие:     так как sinj<1 то k₂<k₁

Вторая среда должна быть оптически менее плотная, чем первая

2 условие:   Получим выражение для структуры поля, результирующей волны в первой среде при 

, 

,

,

,

В нашем случае коэффициенты:    ,

Для свертки соотношений надо вынести за круглую скобку множитель .

С учетом проделанных преобразований:

,

,

,

        ,

Из полученных соотношений следует:

1.   Поле в первой среде является плоской волной.

2.   Поверхности равных фаз образуют семейство плоскостей,

перпендикулярных оси Z, т.е. определяется уравнением Z=const.

3.   Амплитуда плоских волн зависит от угла падения j и координаты Х.

4.   Поверхность равных амплитуд определяется уравнением X=const.

5.   Поверхность равных амплитуд не совпадает с поверхностью равных фаз.

6.   Плоские волны являются неоднородными.

7.  Плоские волны в первой среде распространяются вдоль оси Z, т.е. вдоль границы раздела, такие волны называются направляемыми.

     И в случае перпендикулярной и параллельной поляризации плоские волны имеют составляющую поля в направлении распространения (в случае перпендикулярной поляризации Н_z, в случае параллельной поляризации E_z), т.е. полученные решения представляют собой плоскую, неоднородную, не поперечную волну.

   Определим фазовую скорость.

   Общее выражение:  

В нашем случае:

Проанализируем:                 

при   ; 

,   

         (9)

Из выражения (9) видно, что направляющая волна распространяется с фазовой скоростью, которая превышает фазовую скорость плоской волны в свободном пространстве с параметрами первой среды, но меньше фазовой скорости в свободном пространстве с параметрами второй среды. Определяем длину волны в направлении распространения:

Или в данном случае:           (10)

            (11)

Из соотношений при  следует, что в направлении, перпендикулярном границе раздела (параллельной оси Х), поле имеет характер стоячей волны с пространственным периодом или длинной волны.

         Глядя на эти же соотношения, можно отметить, что поперечные, относительно направления распространения поля, компоненты поля ()—синфазны. Продольная, относительно поперечных, имеет фазовый сдвиг 90 (Z).

Определим энергетические параметры. Определим комплексный вектор Пойнтинга:

       (12)

В выражении (12) знак "+" соответствует нормальной поляризации, а знак "-" для параллельной поляризации. Как следует из (12) комплексный вектор Пойнтинга имеет реальную и мнимую части.

Среднее за период значение вектора Пойнтинга направлено вдоль оси Z.

          (13)

Т.е. в среднем за период энергия переносится вдоль оси Z. В направлении, перпендикулярном границе раздела существует реактивный поток мощности. Из (*) видно, что имеется бесконечное количество плоскостей, перпендикулярных оси Х (параллельных границе раздела), в которых Е_t и Н_n       обращаются в нуль. Точки пересечения этих плоскостей с осью Х можно определить из следующего соотношения:

В случае параллельной поляризации, параллельной границе раздела, будет параллельна и компонента Е_z. Из предыдущего соотношения следует:

       (14)

где n=1, 2, 3, ...

Из приведенных рассуждений следует, что в плоскостях, параллельных границе раздела, положение которых описывается в (14), автоматически удовлетворяет граничные условия, соответствующие граничным условиям на поверхности идеального проводника (Е_t=0, Н_n=0).

Если мы одну из этих плоскостей заменим идеально проводящей поверхностью (Х_n), то получим, что при  (т.е. над плоскостью в первой среде) поле останется неизменным.

         Еще характерная особенность этих плоскостей (14) заключается в том, что поток энергии через эти поверхности (как активной, так и реактивной) равна нулю.

Определим среднее за период значение скорости распространения энергии в первой среде.

В первой среде при выделим энергетическую трубку, т. е.  часть пространства, через боковые поверхности которого отсутствует перенос энергии, т. е. .

В качестве энергетической трубки удобно взять часть пространства, ограниченное соседними поверхностями, положение которых определяется (14). Например, X_n , X_n+1.

В этом случае, учитывая, что составляющая поля зависит от координаты Х, выражение для скорости распространения энергии включает обязательно интегрирование. Подставляя соответствующие компоненты и осуществляя интегрирование, получим:

         (15)

         (16)

Из (16) видно, что скорость распространения энергии в первой среде меньше скорости света в первой среде.

Выражение для фазовой скорости:

Рассмотрим результирующее поле во второй среде  при выполнении условия ПВО.

Исходные соотношения:

,       (1)

,       (2)

,           (3)

,        (4)

При :  является чисто мнимой величиной.   

Удобно ввести обозначение:                 (5)

где a при   является действительной величиной           (6)

Из закона Снелиуса:      

                        

Минус в (5) выбран из физических соображений.

Подставляя (5) в (1)—(4) и учитывая, что  получим:

,               (7)

,      (8)

,  (9)

,    (10)

Из (7) - (10) видно, что при  поле во второй среде имеет характер плоской волны (поверхность равных  фаз определяется уравнением Z=const) распространяется вдоль границы раздела. Поверхность равных амплитуд (X=const) перпендикулярна поверхности равных фаз (Z=const), т.е. плоская волна является плоской неоднородной. В направлении распространения вдоль оси Z имеются составляющие поля (Н_z при перпендикулярной поляризации и Е_z при параллельной поляризации), т. е. плоская неоднородная волна является не поперечной. Фазовая скорость волны и длина волны определяется теми же соотношениями, что и для волны в первой среде:

,         ,

,         

Характерное отличие: амплитуда плоской волны экспоненциально убывает от границы раздела, т. е. поле существует в некотором приграничном слое. Направляемые волны, амплитуды которых экспоненциально затухают при удалении от границы раздела, называются поверхностными.

Проанализируем, в каких пределах изменяется a — коэффициент, характеризующий уменьшение амплитуды волны в направлении перпендикулярном границе раздела.

При  a является действительным коэффициентом. При изменении

a изменяется так: .

         Для вычисления скорости распространения энергии в качестве энергетической трубки следует взять часть пространства, которое простирается от до. Вектор  Пойнтинга в 1-ой среде:

Положение координаты Х₀ определяется из:

,   

В данном случае интегрирование осуществляется не по площади, а по координате Х.

,       

Скорость распространения энергии во 2-ой среде определяется тем же соотношением, что и в 1-ой среде.

7.8. Диэлектрик и идеальный проводник.

         Пусть    1-ая среда — идеальный диэлектрик  m_а1, e_а1.

                   2-ая среда — идеальный проводник  .

Характеристическое сопротивление проводящих сред  .

Характеристическое сопротивление идеальной проводящей среды равно нулю при:  .

Полученные ранее выражения для коэффициентов Френеля для 2-ух идеальных диэлектрических сред применимы и в данном случае.

       

Полагая 2-ую среду идеальным проводником, подставляем  z_С2=0.

Если 2-ая среда является проводником, то полное внутреннее отражение имеет место при любых углах падения. Поле во 2-ой среде отсутствует. поле в 1-ой среде представляет направляемую волну, распространяющуюся вдоль границы раздела. Выражение для фазовой скорости, длины волны вдоль границы раздела, для скорости распространения энергии совпадают с предыдущим случаем:

, ,

В направлении перпендикулярном границе раздела, поле в 1-ой среде имеет характер стоячей волны с пространственным периодом (длинной волны):      

7.9. Падение плоской волны на границу поглощающей среды.

Пусть плоская волна падает из идеального диэлектрика на плоскую границу с поглощающей средой. Общие соотношения, полученные для 2-ух идеальных диэлектрических сред применимы и в данном случае т. к. 2-оя Среда является поглощающей, то мы должны предположить, что k₂ является комплексной величиной:

,         (1)

Закон Снелиуса применим в любых случаях:       (2)

т. к. k₂ величина комплексная, а k₁ и sinj —  действительные, то следует предположить, что sin j_п — комплексная величина.

Т. о. в данном соотношении j_п уже нельзя считать геометрическим углом, характеризующим направление распространения преломленной волны. В этом случае удобно ввести следующие обозначения:                  (3)

         (4)

Рассмотрим случай перпендикулярной поляризации и запишем выражения для составляющих поля во 2-ой среде:

,       (5)

,    (6)

,     (7)

,         (8)

Из соотношения следует, что в этом случае поле во 2-ой среде представляет собой плоскую волну, у которой поверхность равных фаз не совпадает с поверхностью равных амплитуд:

,         (9)

Это плоская неоднородная не поперечная волна. Направление распространения преломленной волны составляет с осью угол j_д  (действит.).

Учитывая, что фазовый фронт перпендикулярен направлению распространения волны, угол j_д можно определить как :

       (10)

В этом случае поле в 1-ой среде не имеет принципиальных отличий по сравнению со случаем 2-ух идеальных диэлектрических сред.

Амплитуда поля во 2-ой среде экспоненциально затухает при удалении от границы раздела. Угол между поверхностью равных фаз и поверхностью равных амплитуд также совпадает с j_д.

Для дальнейшего обсуждения особо важным является случай, когда:        k₂>>k₁

Обычно это неравенство выполняется, если 2-ая среда является реальным проводником:

  (11)

В этом случае при любом угле падения j  , отсюда .

Это означает, что при любом угле j преломленная волна распространяется практически по перпендикуляру к границе раздела. При этом поверхность равных фаз можно считать совпадающей с поверхностью равных амплитуд, т. е. преломленная волна является однородной. Кроме того, при выполнении этого неравенства составляющими поля в направлении распространения преломленной волны можно пренебречь по сравнению с поперечными составляющими, т. е. она является плоской, однородной и поперечной.

Т. о. при выполнении этого неравенства преломленную волну можно рассматривать как плоскую волну, существующую в однородном свободном изотропном пространстве с параметрами 2-ой среды. При выполнении этого неравенства преломленная волна существует в тонком приграничном слое.

Для реальных металлов: , поэтому между компонентами преломленной волны существует фазовый сдвиг .

7.10. Приближенные граничные условия Щукина-Леантовича.

Самой распространенной задачей является задача присутствия реальных проводящих сред. Решение подобных задач существенно упрощается при использовании приближенных граничных условий Щукина-Леантовича (гр. усл. Щ-Л).

В отличие от традиционных граничных условий, которые устанавливают взаимосвязь между составляющими поля на границе раздела в разных средах, гр. усл. Щ-Л устанавливают взаимосвязь в одной среде. Из предыдущего параграфа известно, что если 2-ая среда  является реальным проводником, то преломленная в ней волна распространяется перпендикулярно к границе раздела и составляющие поля преломленной волны можно описать теми же соотношениями, что плоскую волну в однородном изотропном пространстве.

                                             (1),

где — нормаль к границе раздела направленная в сторону проводящей среды.

Составляющие поля преломленной волны находятся в плоскости параллельной границе раздела.

На границе раздела S должны выполняться условия:

 на S     (2)

Тогда, с учетом (2),  (1) можно переписать:

(3)

В (3) вектор Н можно представить в полной форме:

Рекомендуем посмотреть лекцию "Недостатки внедрённых АСУ".

, потому, что

(4) — приближенное гр. усл. Щ-Л.

Устанавливает взаимосвязь между тангенциальными составляющими в 1-ой среде на границе раздела  с хорошо проводящей средой.

Из (4) следует, что на поверхности реальных проводников имеется малая по величине, но конечная тангенциальная составляющая компонента Е_t. Е_t и Н_t на поверхности реальных проводников определяют поток энергии направленной внутрь проводящей среды:         , где z_С2 — очень малая величина. При  и получаем: — гр. усл. на поверхности идеальных проводников.

В основе наших рассуждений стоит предположение о том, что j_д=0 т. е. преломленная волна распространяется перпендикулярно к поверхности. В действительности она распространяется под очень малым углом к нормали. Приближенность состоит в том, что мы предполагаем этот угол равным 0.

Тангенциальная компонента магнитного поля на поверхности реальных металлов мало отличается от тангенциальной компоненты на поверхности идеального проводника. поэтому при решении задач и используются гр. усл. Щ-Л. Обычно предполагают:         .