Плоские электромагнитные волны
Раздел 6. Плоские электромагнитные волны.
6.1. Общие сведения.
Под волнами подразумевают колебательные движения непрерывных сред. Принципиальные отличия в математическом описании волновых процессов и колебаний токов и напряжений в радиотехнических цепях состоит в том, что для полного описания любой системы достаточно знать конечное число токов и напряжений на различных участках схем. Для полного описания волнового процесса необходимо знать его характеристики в бесконечно большом числе точек в рассматриваемом пространстве. Природа волновых процессов весьма разнообразна: электромагнитные волны, акустические, гравитационные и т. д. Физики полагают, что при распространении любых волн среда постепенно вовлекается в некоторый физический процесс, в результате которого происходит распространение энергии в пространстве.
6.2. Плоские электромагнитные волны в однородной изотропной
среде без потерь.
Будем рассматривать свободные (существующие без сторонних источников) гармонические колебания электромагнитного поля в однородной изотропной среде без потерь(
). В этом случае для определения характеристик электромагнитного поля удобно воспользоваться однородными уравнениями Гельмгольца относительно векторов электромагнитного поля.
(1)
(2)
-волновое число.
Рекомендуемые материалы
Векторные уравнения (1) и (2) можно записать в виде системы из трех скалярных уравнений:
(3)
(4)
Наиболее просто уравнения (3) и (4) и их решения выглядят в случае плоских электромагнитных волн. Под плоскими волнами подразумевают электромагнитные волны, распространяющиеся вдоль линейной координаты, в каждый фиксированный момент времени неизменны в плоскости, перпендикулярной направлению распространения. Будем полагать, что волна, распространяется вдоль оси Z, т.е. вектор Пойнтинга:
(5)
Из соотношения (5) видно, что вектор Пойнтинга определяется компонентами электромагнитного поля, находящимися в плоскости xOy. В данном случае отсутствуют составляющие поля вдоль оси z. Таким образом, должны выполняться условия:
так как, по определению, поле должно быть неизменно в плоскости распространения волны, то:
(6)
Используя соотношение (6), выражения (3) и (4) можно переписать следующим образом:
(7)
(8)
Решение каждого из уравнений: 
(9)
(10)
Для того, чтобы не увеличивать количество постоянных интегрирования мы компоненты поля 
найдем с использованием решений (9), (10) и уравнений Максвелла.
(11)
Используя соотношение (11), получим:
(12)
(13)
Вынося jk за скобки, получим:
(14)
(15)
Получим систему решений: (16)
(17)
(18)
(19),
где 
, [Ом] — характеристическое сопротивление среды, определяющееся свойствами среды.
Пары (16)-(17) и (18)-(19) образуют вектор Пойнтинга, ориентированный по оси z. Полученные нами, решения представляют собой сумму двух слагаемых (так как решалось дифференциальное уравнение). Уточним физический смысл каждого слагаемого. Для этого в уравнении (16) перейдем от комплексных амплитуд к мгновенным значениям.
(20)
Аргумент первого слагаемого — 
(21)
Аргумент второго слагаемого — 
Рассмотрим аргументы и слагаемые для t=t1, z=z1, т.е. 
. Дадим приращение времени 
и определим смещение точек 
этого волнового процесса с постоянными фазами 
.
|
|
Для того, чтобы оценить это смещение, осуществляем следующие равенства:
(22)
(23)
Приводя подобные члены в соотношениях (22) и (23), получим:
(24)
(25)
Выражая 
в первом и втором случаях, получаем:
(26)
(27)
Соотношение (26) определяет перемещения фиксированной фазы 
, а соотношение (27) — 
, т.е. соотношения (26) и (27) определяют фазовую скорость. Соотношение (26) определяет положительную фазовую скорость. Стало быть, компонента 
и соответствующая ей 
соответствуют плоской волне распространяющейся в положительном направлении оси z. Аналогично и соотношение (27).
Итак, в полученном нами решении (16) первое слагаемое для плоской волны в положительном направлении, второе слагаемое — в отрицательном.
Уточним физический смысл волнового числа k. Волновое число k показывает изменение фазы волны в радианах при прохождении волной пути в 1 метр. Минимальное расстояние, на котором фаза волны изменяется на 2p называется длинной волны (пространственным периодом).
(28)
(29)
Проанализируем полученные решения на примере 
, 
.
В этих общих решениях выделим слагаемые, которые соответствуют волне, распространяющейся в положительном направлении оси z:
(30)
(31)
Перейдем к мгновенным значениям:
(32)
(33)
1. z = const — поверхность равных фаз представляет собой плоскость.
2. поверхность равных амплитуд совпадает с поверхностью равных фаз (плоская волна однородная).
3. в направлении распространения отсутствуют составляющие поля (плоская, однородная, поперечная).
4. компоненты поля плоской волны взаимноортогональны и перпендикулярны направлению распространения волны.
Между составляющими поля плоской волны существует взаимосвязь.
|
|
Определим энергетические характеристики волны:
— объемная плотность электрической энергии.
— объемная плотность магнитной энергии.
Так как среда однородная, изотропная и без потерь,
.
Определим скорость распространения энергии:
.
Уравнение для фазовой скорости: 
, где .
Тогда в случае среды без потерь: 
.
Различные комбинации полного решения для плоской электромагнитной волны фактически соответствуют одной и той же плоской волне при различных ее ориентациях, относительно выбранной системы координат.
 |
6.3. Плоские волны в однородной изотропной среде с проводимостью отличной от нуля.
В среде с проводимостью отличной от нуля энергия электромагнитной волны частично расходуется на возбуждение и поддержание токов проводимости, т.е. волна в процессе распространения затухает. В общем случае наряду с джоулевыми потерями в среде могут присутствовать также диэлектрические и магнитные потери. В этом случае:
(1)
(2)
(3)
В этом случае решения по форме совпадают с решениями, полученными в предыдущем параграфе.
(4)
(5)
(6)
Перейдем для уяснения физического смысла к мгновенным значениям:
Степень убывания амплитуды:
-характеризует ослабление волны.
В некоторый фиксированный момент времени изобразим 
:
Отметим физический смысл: g — комплексная постоянная распределения.
b — ее действительная часть, смысл тот же, что и у k, т.е. показывает изменение фазы волны в радианах при прохождении волной пути в 1 метр (фазовая постоянная); a — мнимая часть g. Показывает во сколько раз уменьшается амплитуда волны на пути в 1 метр (постоянная затухания).
Уменьшение амплитуды волны в процессе распространения характеризуют величиной затухания:
,[Нп] (7)
,[дБ]
Будем рассматривать случай, когда потери в среде вызваны конечной проводимостью (только Джоулевы потери):
и 
, 
(8)
Хотим получить выражения для b и a. Возведем в квадрат и выделим реальные и мнимые величины. Получим:
(Ñ)
Выразим из второго уравнения мнимую часть и подставим в первое.
Решаем квадратное уравнение: 
Так как слева стоит квадрат, то в этом соотношении учитывается только знак "+". Тогда: 
Откуда получаем:
(9)
Воспользуемся соотношением (Ñ) из которого следует, что мнимая часть: 
.
Подставим (9) в (Ñ): 
Так как слева стоит квадрат, то правая часть не может быть отрицательной. Получаем:
(10)
Проанализируем экспоненциальный множитель 
. Подстановка вместо . Можно получить: 
. Физически реальными являются первое и последнее произведения. Первое из них соответствует затухающей волне, распространяющейся в положительном направлении оси z, а последнее — в отрицательном направлении оси z. Таким образом поле плоской волны, распространяющейся в среде с потерями, может быть представлено следующими соотношениями:
(11)
(12)
В данном случае характеристическое сопротивление среды является комплексной величиной.
Целесообразно поступить следующим образом:
(13)
Рассмотрим, как меняется фаза и 
при изменении s = 0...¥.
С ростом проводимости характеристическое сопротивление по модулю убывает.
Вывод: По определению 
. В среде с проводимостью отличной от нуля при постоянной напряженности электрического поля 
с ростом проводимости увеличивается амплитуда магнитной компоненты 
.
Физически это можно объяснить:
в среде с проводимостью равной нулю присутствуют только токи смещения 
. Если проводимость равна нулю, то в среде появляются проводящие токи. Причем при неизменной напряженности электрического поля и диэлектрической проницаемости среды плотность тока остается неизменной.
Проанализируем полученный результат. Пусть 
имеет только иксовую составляющую, тогда вектор 
будет иметь одну составляющую, ориентированную по оси y, если волна распространяется вдоль оси z. Будем предполагать, что амплитуда является действительной величиной.
Перейдем к мгновенным значениям: 
Проанализируем. Поверхность равных фаз определяется уравнением z =const. Поверхность равных амплитуд совпадает с поверхностью равных фаз, т.е. рассмотренный процесс является плоской однородной волной.
Имеются составляющие поля, взаимно ортогональные и перпендикулярные направлению распространения волны, т.е. она является и поперечной. Амплитуда волны экспоненциально убывает в процессе ее распространения. В данном случае магнитная составляющая поля отстает от электрической на угол 
.
Проанализируем основные характеристики электромагнитной волны. Фазовая скорость равна:
Из этого уравнения следует, что так как b>k, то фазовая скорость в среде с потерями меньше фазовой скорости в среде без потерь, так как .
В данном случае фазовая скорость является функцией частоты. С ростом частоты tgd убывает и фазовая скорость возрастает. Фазовая скорость зависит от проводимости среды. С ростом проводимости tgd увеличивается и фазовая скорость убывает.
Из соотношения видно, что l в среде с потерями меньше l в среде без потерь. С ростом проводимости tgd увеличивается и l убывает. Распространение волны сопровождается переносом энергии. Вектор Пойнтинга:
Среднее за период значение: 
Если мы попытаемся вычислить скорость распространения энергии, то все данные есть: 
После подстановки получим, что 
.
По рассмотренным результатам можно отметить, что характеристики плоских волн в среде с потерями и без потерь существенно отличаются. Главное принципиальное отличие состоит в том, что Vф , VЭ , zс в среде без потерь неизменны при любых частотах и определяются только электродинамическими параметрами среды. В среде с потерями эти же параметры являются функциями частоты. Явление зависимости параметров электромагнитной волны от частоты называется дисперсией, а соответствующие среды называются диспергирующими. Дисперсия возможна и в средах без потерь, если хотя бы один из электродинамических параметров является функцией частоты.
Рассмотрим два характерных случая распределения электромагнитных волн в реальных средах, т.е. определим параметры плоской волны в реальных диэлектриках и металлах.
6.4. Распространение волн в реальных диэлектриках.
Для реальных диэлектриков 
. 
(1)
Используя неравенство, скобку можно представить в виде ряда Маклорена:
(2)
Ограничиваясь тремя элементами разложения, пренебрегая всеми остальными, получаем:
(3)
Приравнивая реальную и мнимую части, получим:
(4,5)
Используя выражение для b, получим:
(6)
Vо — скорость света в среде.
Из результатов следует, что параметры плоской волны в реальных диэлектриках мало отличаются от параметров в среде без потерь. Постоянная затухания l в реальных диэлектриках является очень малой величиной и в первом приближении не зависит от частоты. В реальных диэлектриках дисперсионные свойства проявляются слабо.
6.5. Распространение волн в реальных металлах.
В проводящих средах 
. Общее выражение:
(1)
(2)
Пренебрегая единицей, получим (
линейноым образо зависят от частоты):
(3)
b и a не линейно зависят от w, следовательно, с изменением w они будут существенно изменяться.
Получим выражение для фазовой скорости:
(4)
и для длины волны: 
(5)
Характеристическое сопротивление:
пренебрегая единицей, получим: 
(6)
Представим 
в виде реальной и мнимой частей:
(7)
| медь Vф=VЭ=421 м/сек l=4,21*10-6 м zс=3,74*10-4 Ом |
| вакуум Vф=VЭ=3*108 м/с l=300 м zc=120p=377 Ом |
Сравним параметры плоских волн в вакууме и меди при частоте f =1МГц.
В реальных проводниках электромагнитные волны испытывают сильное поглощение. Так в меди с f = 1МГц на пути в 1 мм затухание составит:
(8)
Металлы следует использовать при экранировании в переменном
электромагнитном поле.
6.6. Характерные параметры для проводящих сред.
Расстояние, на котором амплитуда волны уменьшается в е раз, называется
глубиной проникновения d, т.е.
; 
(1)
В общем случае: 
(2)
или для проводящих сред:
(3)
Отсюда следует, что w®d¯
6.7. Поляризация волн.
Для описания ориентации волн в пространстве вводят понятие поляризации. Под плоскостью поляризации подразумевают плоскость, проходящую через направление распространения волны и параллельно вектору 
.
(1)
(2)
Для того чтобы проанализировать возможные случаи поляризации рассмотрим следующие решения. Пусть плоская волна представляет собой композицию решений из (1) и (2), которые также являются решением уравнения Гельмгольца.
|
|
(3)
1. Пусть слагаемые в соотношении (3) синфазные, т.е. 
; 
;
.
Тогда результирующий вектор , а стало быть, и плоскость поляризации оказываются повернутыми на угол Q относительно оси x, причем положение плоскости поляризации в процессе распространения волны остается неизменным.
2. Пусть слагаемые равны по амплитуде, а по фазе отличаются на 90°:
, 
,
Вам также может быть полезна лекция "Правовая психология понятие о направлении юридической психологии, объект, предмет и методы исследования".
тогда получим: 
Определим положение угла Q: 
В этом случае положение плоскости поляризации изменяется во времени и пространстве. Если зафиксируем некоторую плоскость, то вектор будет вращаться со скоростью V, и его конец будет описывать окружность. Если зафиксируем время, то вектор будет описывать спираль вдоль оси z. Этот случай поляризации называется круговой, т.е. в процессе распространения плоскость поляризации вращается. Это был случай левой поляризации. Для получения правой поляризации надо, чтобы
, 
.
Условием круговой поляризации волны является временная и пространственная квадратура составляющих в соотношении (3). Компоненты должны быть взаимно ортогональны и должны отличаться по фазе на 90° и должно выполняться условие равенства амплитуд. В том случае, когда одно из условий не выполняется, имеем эллиптическую поляризацию. В любой фиксированной плоскости вектор Е движется по эллиптической замкнутой кривой. Степень поляризации характеризуют отношением большой оси к малой.
