Элементы теории дифракции

Раздел 11. Элементы теории дифракции

11.1. Строгая постановка задачи дифракции

         В большинстве реальных электромагнитных задачах поверхность раздела сред нельзя считать безграничной и плоской. А падающую волну плоской электромагнитной волной. В этом случае при падении электромагнитной волны на тело конечных размеров наряду с явлением отражения и преломления возникает процесс называемый дифракцией.

         В этом разделе будут рассмотрены методы решения задач рассеяния электромагнитной волны на металлических, расположенных в однородном изотропном пространстве. Волны будем считать гармоническими, металлические тела — идеально проводящими, а бесконечное изотропное пространство без потерь.

         Процесс дифракции можно описать следующим образом:

Падающие электромагнитные волны (предполагается известными) наводят на металлических телах поверхностные токи. Эти токи, в свою очередь, возбуждают вторичные электромагнитные волны. Задача дифракции, таким образом, сводится к вычислению вторичного электромагнитного поля. Достаточно вычислить только одну компоненту Е или Н так как они связаны через уравнения Максвелла.       Сформулируем математически задачу дифракции.

Составляющие падающей волны , ; составляющие вторичного поля , .

Во внешнем пространстве, по отношению к рассеивающему телу, векторудовлетворяет однородному уравнению Гельмгольца.                                                     1

на поверхности S рассеивающего тела суммарная тангенциальная компонента электрического поля:                                     2

Рекомендуемые материалы

В точках бесконечно удаленных от рассеивающего тела вторичное поле должно удовлетворять условию излучения на бесконечность:                            3

         В ряде задач бывает удобно провести подобное рассмотрение относительно магнитного поля

                                       4

В этом случае грагичное условие ( 2 ) можно переписать, используя 1-ое уравнение Максвелла:                  

                                5

Часто при решении задач второго вида бывает удобно записывать граничные условия относительно нормальных компонент:                 

                                          6

Задача второго вида тоже должна быть дополнена      

                                7

         Сформулированные задачи дифракции относительно и имеют одинаковое решение, если рассеивающее тело не имеет ребер, изломов. Если на теле имеются изломы поверхности, то при решении задачи  приведенные соотношения должны быть дополнены дополнительным условием: условием на ребре.

1. 11.2. Дифракция плоской волны на круговом цилиндре

         Рассмотрим задачу дифракции плоской поперечной линейно поляризованной волны на идеальном круговом проводящем бесконечном цилиндре.

         Введем цилиндрическую систему координат. Z совпадает с осью цилиндра. Угол j отсчитывается от направления, противоположного направлению распространения падающей первичной волны. Достаточно рассмотреть 2 дифракционные задачи:

1 задача:

2 задача:

При произвольной ориентации векторов Е и Н задача может быть представлена как суперпозиция 2-ух оговоренных задач.

         Рассмотрим первую задачу.

В этом случае электрическое поле падающей волны

                 1

         Рассматриваемая задача является двухмерной, так как составляющие поля не зависят от Z. Причем это условие распространяется и на первичное и на вторичное поле:

                                   2

                                           3

Однородное уравнение Гельмгольца в цилиндрических координатах можно записать так (так как не зависит от Z):

                   4

где ;.

Составляющие электрического поляна поверхности цилиндра должны удовлетворять нулевому граничному условию:                                                                   

                                 5

         Искомое выражение напряженности вторичного электромагнитного поля должно удовлетворять условию излучения на бесконечность. Физически это означает, что в полученном решении мы должны оставить только те частные решения, у которых фазовый множительсоответствует волнам расходящимся от цилиндра. Также должны быть исключены частные решения с фазовым множителем.

         Решим уравнение ( 4 ) методом разделения переменных. Предполагаем, что искомая функция

                                              6

Подставим ( 6 ) в ( 4 ). Осуществим дифференцирование и поделим все слагаемые после этого на ( 6 ):

                      7

Умножим все слагаемые ( 7 ) на r² и сгруппируем слева функции от r, а справа функции от j. Получим:

                          8

Из ( 8 ) следует, что в этом соотношении приравниваются функции от независимых координат. Это возможно если левая и правая части равны некоторой постоянной m². Получим:             

                                            9

Продифференцируем:                      

                        10

В данном случае искомое выражение для Е(r,j) обладает следующим свойством:

                                     11

т. е. является периодичным по углу j. Очевидно этим же свойством обладает функция Ф.

                                           12

Решим уравнение ( 9 ) (диф-ое уравнение 2-ого порядка):                                          13

Полученное решение ( 13 ) обладает свойством ( 12 ) в том случае, когда m является постоянным числом (целым). Очевидно, что искомая функция , а стало быть и функция Ф являются четными функциями по углу j.                                                    

Таким образом в решении ( 13 ) мы должны оставить только 2-ое слагаемое                                                       14

Дифференциальное уравнение ( 10 ) известного вида называется уравнением Бесселя. Известно, что это уравнение имеет следующее решение:                                            15

J_m(kr) — цилиндрическая функция 1-ого рода (функция Бесселя 1-ого порядка).

N_m(kr) — цилиндрическая функция 2-ого рода (функция Неймана).

В данном случае решение ( 15 ) удобно записать через цилиндрические функции 3-его рода (функции Гангеля).                                                                                               16

2. Эти функции связаны с функциями Бесселя и Неймана

При для функции Гангеля справедливо следующее асимптотическое представление                        

Таким образом следует, что в решении ( 16 ) мы должны положить, что        

         Из последних соотношений следует, что функция Ганкеля 1-ого рода представляет собой цилиндрическую волну которая распространяется из бесконечности к оси Z; функция Ганкеля 2-ого рода представляет собой цилиндрическую волну которая распространяется от оси Z на бесконечность.

         Полученные решения должны удовлетворять условию излучения на бесконечность. Физически это условие означает, что действительными или реальными являются те, которые соответствуют волнам расходящимся от источника. В данном случае источником искомой вторичной волны является поверхность цилиндра. На основании приведенных рассуждений мы должны положить С=0. Обобщая рассмотренные решения можно отметить, что решением однородного уравнения ( 4 ) являются функции вида

                              17

где D_m — неизвестные пока коэффициенты амплитуды.

         Коэффициенты D_m могут быть найдены из граничного условия       

Представим искомое вторичное поле в виде бесконечной композиции решений вида ( 17 ).                                   18

— ряд Фурье по цилиндрическим функциям.

         Воспользуемся известным из теории цилиндрических функций разложением                   19

(19) есть фактически тоже разложение в ряд Фурье функции экспоненциальной.

         Подставляем ( 18 ) и ( 19 ) в граничные условия

             20

В ( 20 ) справа и слева стоят разложения одной и той же функции в ряд Фурье по цилиндрическим функциям. Известно, что это разложение является единственно-возможным т. е. в ( 20 ) должно также соблюдаться равенство соответствующих амплитудных коэффициентов.

         Приравняем соответствующие амплитудные коэффициенты и из этих равенств выразим искомые коэффициенты D_m.

                                                                              21

Подставим ( 21 ) в общее соотношение ( 17 ):

        22

— общее решение для электрического поля рассеиваемой волны представленное в виде разложения по цилиндрическим функциям.

Окончательное решение выглядит следующим образом:    

                                                                           23

         Ряд в ( 22 ) является абсолютно сходящимся и дифференцируемым в каждой точке. Поэтому выражение для магнитной составляющей легко может быть получено из 2-ого уравнения Максвелла с использование ( 22 )

         Найденное решение в форме ( 22 ) является симметричным по углу j, с периодом по j равным 2p. Найденное решение удовлетворяет условию излучения на бесконечность.

         Попытаемся изобразить графически решение ( 22 ) для некоторых значений радиуса (а) цилиндра для r>>a, r>>l (т. е. в дальней зоне):

         Из приведенных рисунков следует, что в результате дифракции на цилиндре плоской волны появляется вторичное поле с четко выраженным максимумом при j=180⁰. Полученное решение ( 22 ) в принципе применимо для любого радиуса цилиндра. Однако при больших значениях сходимость ряда в соотношении ( 22 ) ухудшается. В этом случае, хотя и можно использовать ( 22 ), целесообразно получить новые соотношения, которые следуют из ( 22 ) путем асимптотического перехода.

         Изложенный строгий (точный) метод решения дифракционной задачи называют методом Фурье. Точное решение возможно в том случае, если поверхность тела может быть описана в известных системах координат (декартова, цилиндрическая, сферическая, коническая...). Если же тело не может быть описано в известных системах координат, то при решении однородного дифференциального уравнения метод разделения переменных оказывается неприменимым, что исключает возможность применения метода Фурье. Если поверхность тела не совпадает ни с одной из координатных поверхностей, то строгими методами задача дифракции не решается. В этом случае прибегают к приближенным решениям.

3. 11.3. Приближение Гюйгенса-Кирхгофа

         Ранее было отмечено, что поле в любой точке пространства внешнего по отношению к объему V может быть однозначно определено по известным тангенциальным составляющим  и  на поверхности S. В качестве поверхности S в задачах дифракции удобно взять поверхность дифрагированного тела. Если на этой поверхности известны точные значения  Е_t и Н_t , то  используя принцип эквивалентности на поверхности S можно определить эквивалентные источники вторичного поля и далее, используя традиционный алгоритм, вычислить поле в заданной точке.

         Но для точного вычисления Е_t и Н_t  на поверхности S необходимо решить дифракционную задачу, т.е. круг замкнулся. Эта трудность может быть преодолена, если Е_t и Н_t на поверхности S вычислить используя приближенные методы. При этом полученные решения дифракционной задачи так же будут приближенные.

         Рассмотрим два характерных примера.

4. Пусть на идеально проводящую поверхность S падает электромагнитная волна. Источник расположен в точке Q. В данной задаче предполагается, что размеры тела и минимальный радиус кривизны >>l .

5.       l >>l     R >>l     1

На  поверхности  S  тангенциальная компонента  равна 0.  При  условии ( 1 ) можно пренебречь затеканием поверхностных электрических токов на “теневую” часть поверхности S (часть поверхности тела, которая видна из точки расположения источника называемой "освещенной", остальная часть называется "теневой"). .

         При этом на "освещенной" части поверхности S в каждой точке плотность поверхностного тока будет такая же, какой она была бы при том же источнике на идеально проводящей плоскости, касательной к поверхности S в данной точке.

         Эти предположения являются приближенными.

          Определим величину тока конкретно в точке N. Для этого проведем касательную. В точке N, как в начале координат, построим декартову систему.  совпадает с осью Z. Определим величину поверхностных токов, возбуждаемых на идеально проводящей касательной плоскости при той же системе источников.                            где

Первичное поле (поле падающей волны) предполагается известным и в частности  равно магнитному полю, возбуждаемому в точке N в отсутствие идеально проводящей плоскости.

Вторичное поле  возникает как результат протекания поверхностных токов. Таким образом, в точке N поверхностный ток 

                                                              2

         Очевидно. Под идеально проводящей плоскостью электромагнитное поле отсутствует. Это можно аргументировать тем, что поверхностные токи возбуждают в нижнем полупространстве магнитное поле, равное по величине магнитному полю источника и противоположно ему по знаку.

                                           3

         Кроме того, из метода зеркальных изображений известно, что в точках, симметричных относительно идеально проводящей плоскости, магнитное поле равно по величине и противоположно по знаку.

                     4

Таким образом в точке N:                                    5                                                             

После получения ( 5 ) задача определения вторичного поля становится традиционной.

                                                                   6

где R - расстояние от элемента поверхности dS до точки наблюдения.                                                       

                                                                                       7

                                                              8

         Определение вторичного поля через векторный электрический потенциал не единственно возможный.

         Можно: 1. Освещенную поверхность с найденным распределением поверхностного тока можно рассматривать как ЭЭИ. Тогда поле в заданной точке может быть найдено как суперпозиция полей, возбуждаемых отдельными ЭЭИ.

         2. Рассмотрим дифракцию плоской волны на отверстии в идеально проводящей плоскости.

         Уравнение плоской волны, падающей на этот экран

         Поверхность интегрирования расположим с тыльной стороны поверхности S. Она оказывается совпадающей с отверстием, а вне отверстия совпадает с теневой частью металлического экрана. При выполнении условия l >>l можно пренебречь затеканием поверхностных токов на теневую часть плоскости. Кроме того, если размеры отверстия >>l, то поле  в отверстии можно считать совпадающим с полем падающей плоской волны при Z=0.

         В дальнейшем задача сводится к следующему. Площадь отверстия разбиваем на элементарные площадки с известным распределением электромагнитного поля (элементы Гюйгенса). В этом случае поле за отверстием можно найти как суперпозицию полей, возбуждаемых отдельными элементами Гюйгенса.

         Рассмотренные методы решения дифракционных задач называются приближением Гюйгенса-Кирхгофа. Метод является принципиально приближенным, тем не менее, он позволяет получить удовлетворительные результаты в максимуме интенсивности поля.

         Приближение Гюйгенса-Кирхгофа называется методом физической оптики.

6. 11.4. Геометрическая оптика

         Метод геометрической оптики является наиболее простым при решении дифракционных задач.

         Применим для определения отраженного поля от тел, размеры которых >>l и минимальный радиус кривизны которых >>l. Ранее отмечали, что направление распространения волны перпендикулярно фазовому фронту. В однородной среде направление распространения плоской волны одинаково во всех точках. Волны, фазовый фронт которых отличен от плоского, этим свойством не обладают. Но при больших расстояниях от источника, произвольную электромагнитную волну можно рассматривать как локально-плоскую.

         Если амплитуда векторов и  b направление распространения волны не меняются на расстояниях, близких к l, то для такой волны можно ввести понятие лучей. Под ними подразумевают линии, касательные в каждой точке к которым совпадают с направлением распространения волны.

         В однородной среде лучи - прямые линии, в неоднородной - произвольные. В геометрической оптике распространение электромагнитной волны рассматривается как распространение лучей (т.е. мы отвлекаемся от волнового характера электромагнитного поля).

         Общей тенденцией является повышение точности полученных результатов с уменьшением длины волны. При вычислении поля по методу геометрической оптики предполагается , что в каждой точке луча соответствует определенное значение составляющих электромагнитного поля. Составляющие поля Е и Н перпендикулярны лучу. Их фазы изменяются линейно вдоль луча. Характер изменения амплитуды составляющих поля вдоль луча устанавливается на основании закона сохранения энергии.

         Энергия электромагнитного поля распространяется вдоль луча. Если на поверхности фазового фронта выделить элементарную площадку DS₀, то вся энергия, проходящая через эту площадку, будет распространяться вдоль энергетической трубки, образованной лучами, проведенными по периметру площадки DS₀. В пределе при          энергетическая трубка вырождается в луч N₀N₁. Получим основное уравнение геометрической оптики.

2 последовательных положения фазового фронта. R₁ и R₂ — радиусы кривизны, l — расстояние между фазовыми фронтами S₀ и S₁.

         Рассмотрим две площадки DS₀ и DS₁, вырезанные энергетической трубкой в поверхностях равных фаз S₀ и S₁. Очевидно, что средний за период поток энергии через эти площадки будет

 равен                                                            1      

         Выразим отношение DS₀/DS₁ через главные радиусы кривизны. Из приведенного рисунка следует

         В однородной среде лучи прямолинейны. В случае линейной поляризации волны ориентация векторов электромагнитного поля остается неизменной. Поэтому для напряженности электрического поля, соответствующего разным точкам луча, с учетом приведенных соотношений можно записать:

               2

k — постоянная распространения, R₁ и R₂ — главные радиусы, l — расстояние между рассматриваемыми точками на луче.

         Аналогичное соотношение можно записать для магнитного поля. Так же как и в случае электромагнитных луч, падающий на границу раздела сред, расщепляется на отраженный и преломленный. В геометрической оптике полагается, что направление отраженного и преломленного лучей подчиняются закона Снелиуса. Кроме того, амплитуда векторов поля, соответствующих отраженному и преломленному лучам на границе раздела определяется коэффициентами Френеля.

         Если отражения происходят от поверхности идеального проводника, то нормальные составляющие электрического поля падающего и отраженного лучей в точке отражения полагаются равными, а тангенциальные составляющие — равными по амплитуде, но противоположными по направлению.

Такая взаимосвязь между компонентами приводит к тому, что становится перпендикулярной отраженному лучу. Вектор соответствующий отраженному лучу может быть найден как    

где — соответствует направлению распространения отраженного луча.

         Итак, если известны составляющие поля и направление распространения в точке отражения луча, то используя соотношение (2) можно вычислить составляющие поля в любой точке отраженного луча, заменив R₁ и R₂ на соответствующие главные радиусы кривизны отраженной волны. В тех случаях когда через рассмотренные точки пространства проходит несколько лучей (например: падающий и отраженный), то результирующее значение составляющих электромагнитного поля находится как сумма полей.

         Таким образом, для решения задач дифракции методом геометрической оптики достаточно знать главные радиусы кривизны фронтов падающей и отраженной волн, что является чисто геометрической задачей, которая всегда может быть решена в данном конкретном случае.

         Метод геометрической оптики является приближенным. Он применим, когда главные радиусы кривизны фронтов, минимальные радиусы кривизны рассеивающей поверхности и расстояние от источника электромагнитного поля до поверхности >>l.

         В этом случае метод позволяет получить удовлетворительные результаты в освещенной части поверхности в максимуме интенсивности поля.

         Метод не применим для определения поля в области тени и вблизи границы освещенной и теневой областей. Кроме того метод не применим в тех точках пространства, где имеет место пучок отраженных лучей (фокальные точки).

         Несмотря на то, что методы геометрической оптики и Гюйгенса-Кирхгофа существенно, различны, у них есть и нечто общее. Так в методе геометрической оптики в каждой точке проводящего рассеивающего тела поле полагается таким же, как на идеальной проводящей плоскости касательной к поверхности тела в данной точке          

Эти соотношения полностью совпадают с методом Гюйгенса-Кирхгофа.

         В методе Гюйгенса-Кирхгофа в точках вблизи отражающего тела справедливы законы геометрической оптики. Поэтому в частности метод Гюйгенса-Кирхгофа и называют методом физической оптики.

         Часто методы физической и геометрической оптики совмещают при решении задач (например: задача о параболической антенне). На первом этапе в такой задаче использую метод геометрической оптики, вычисляют распределение поля в разрыве зеркала, а затем по известному распределению  поля в излучающей апертуре, используя метод Гюйгенса-Кирхгофа, вычисляют поле в заданных точках пространства.

7. 11.5. Метод краевых волн

         Под физической теорией дифракции волн  подразумевают методы решения дифракционных задач, в которых используются  различного рода приближения при описании токов на рассматриваемой поверхности. Математическая теория дифракция включает строгие методы  решения  дифракционных задач. Метод краевых волн в физической теории дифракции является дальнейшим развитием метода  физической оптики  и предназначен для решения  дифракционных задач на  выпуклых металлических телах, имеющих изломы  (ребра).

         Рассмотрим основные принципы. Пусть плоская электромагнитная волна падает на идеально проводящее тело, находящееся  в свободном пространстве. Под действием волны на поверхности тела наводятся поверхностные электрические токи. В физической оптике показано, что в каждой точке поверхности тела плотность тока определяется по формуле        

                        1

— единичная нормаль к поверхности тела.

— напряженность магнитного поля падающей волны.

         Характерная особенность заключается в том, что это равенство выполняется только для освещенной  части поверхности.  На теневой части поверхности . В действительности плотность тока отличается от  определяемой соотношением (1).  Для уточнения плотности тока ее записывают в виде суммы:

                               2

 — равномерная часть поверхностного тока (определяется приближенным методом физической  оптики);

 —  добавочная или неравномерная часть поверхностного тока (дополняющее значение    поверхностного тока  до более точного значения).

         Истинное значение поверхностного тока  можно было бы установить в результате строгого решения дифракционных задач. Чаще всего это является невозможным, поэтому прибегают  к приближенным методам. В частности, метод краевых волн позволяет определить неравномерную часть  поверхностного  тока в случае, если на металлическом  рассматриваемом теле имеются изломы и ребра. Распределение тока на малом элементе поверхности  вблизи ее излома можно считать приближенно таким же как на идеально проводящем  металлическом         клине, образованном плоскостями, касательными к поверхности тела в рассматриваемой точке.

         Модель в виде идеально проводящего клина используется потому, что для него существует строгое решение задачи. Впервые эту задачу  решил Уфимцев.  Он получил  и исследовал решение задачи  и установил, что неравномерная часть поверхностного тока в этом случае имеет вид краевых волн, распространяющихся от ребра (излома) и быстро затухающих   с удалением от излома.

         Определив указанным выше способом неравномерную часть поверхностного тока, т.е. определив в начальной точке плотность полного тока. можно найти поле рассматриваемое телом в каждой точке пространства. 

         Полученное решение в этом случае является более точным по сравнению с решением, полученным  методом Гюйгенса-Кирхгофа. Метод краевых волн  позволяет учесть в задачах дифракции взаимное влияние изломов.  В этом случае волна,  соответствующая неравномерной части, распространяясь от начального излома в сторону, к соседнему,  испытывает на нем дифракцию, возбуждая вторичную волну неравномерного поверхностного тока. Т.е. этот метод позволяет уточнить  решения задачи дифракции на теле с множественными изломами.

8. 11.6. Геометрическая теория дифракции

         Геометрическая теория дифракции рассматривается как наиболее эффективный метод  асимптотического решения задач дифракции на телах сложной конфигурации. Метод предложен Кельверан и является  обобщающим и развитием метода геометрической оптики. Геометрическая теория дифракции  базируется на том предположении, что энергия распространяется вдоль лучей. Но в отличие от метода геометрической, помимо падающего, отраженного и преломляющего лучей вводят понятие дифрагированных лучей.  В случае идеально проводящих тел дифрагированные лучи  возникают при падении  луча на ребро или острую вершину на поверхности тела, а так же при распространении луча по касательной к плавно изогнутой поверхности тела. Если падающий луч падает на ребро, то возникает система дифрагированных лучей.

R₀ — радиус кривизны сечения ребра

b — угол расхода конуса

l — расстояние от точки наблюдения до точки N₀                       

         Если падающий луч попадает на ребро , то возникает система  дифрагированных лучей, образующих как бы поверхность конуса вращения с вершиной в точке соприкосновения падающего луча с ребром  и  осью, совпадающей с касательной к поверхности ребра в точке дифракции. При этом угол  раскрыва конуса 2b равен удвоенному углу между падающим лучом и этой касательной. 

         В тех случаях, когда падающий луч перпендикулярен касательной к ребру, коническая поверхность разворачивается в плоскость.

         Если падающий луч падает на острие вершины рассеивающего тела, то в этом случае дифрагированные лучи расходятся во все стороны как от точечного источника.

         Если падающий луч распространяется по касательной  к плавно изогнутой поверхности тела, то точке касания он расщепляется на два луча. Один из которых продолжает распространяться в направлении касательной, а второй образует новый луч, распространяясь вдоль плавно изогнутой  поверхности тела. Причем , в каждой точке поверхностного луча испускается дифрагированный луч, распространяясь  по касательной к данной точке.

Т.о. во всех случаях, когда возникают дифрагированные лучи, наблюдается характерная особенность. Один луч вызывает появление бесчисленного множества дифрагированных лучей. Дифрагированные лучи проникают в область тени, создают в ней некоторое поле (в методе геометрической и физической  оптики мы предполагаем, что поле отсутствует). Кроме того , дифрагированные  лучи  изменяют поле в освещенной области.  Для определения полей в какой-либо точке пространства  на основе  геометрической теории дифракции нужно найти все лучи, проходящие  через данную точку  пространства. Затем вычисляем поля, соответствующие каждому лучу и  результирующее поле находим как сумму полей. Иными словами, в некоторой точке пространства N электрическое поле можно представить

В точке наблюдения напряжение электрического поля соответствует падающим и отраженным лучам вычисляется соответственно методу геометрической оптики.  3 компонента соответствующая дифракционному лучу       вычисляется  с использованием метода геометрической теории дифракции. В точке  дифракции  напряженность поля, соответствующая каждому дифрагированному лучу пропорциональна напряженности поля падающего луча. Коэффициенты пропорциональности, как правило,  устанавливаются с использованием справочного пособия по геометрической теории дифракции.

         Обычно предполагается в задачах дифракции, что фаза вектора напряженности, соответствующая дифрагированному лучу, линейно меняется вдоль луча, а амплитуда  дифрагированного луча устанавливается  из условия  постоянства потока энергии вдоль соответствующей энергетической трубки.

Геометрическая теория дифракции обладает одним существенным недостатком:

она не позволяет определить поле на границе геометрической тени, на  фронтальных линиях и на поверхности рассеивающего тела. В таких областях, которые называются каустиками для определения электромагнитного поля используются специальные методы.

11.7 Поверхностное сопротивление проводника.                                            

Т.к. касательная составляющая напряженности электрического поля на поверхности металла  и  направлены одинаково, то можно записать:

В лекции "3. Планирование" также много полезной информации.

                                             1

Коэффициент пропорциональности   принято называть поверхностным сопротивлением проводника. Учитывая формулу  и граничное условие Щукина-Леонтовича , где - характеристическое сопротивление, получаем:                

                                                                   2                 

Тогда активная часть :                                  3

Из  (7.10.3) следует, что проводник, заполняющий все полупространство, имеет в результате поверхностного эффекта такое же сопротивление, как и слой проводника, толщиной  d  без учета поверхностного эффекта .

          4