Магнитное поле движущихся зарядов. Закон Био-Савара-Лапласа
§ 3.2. Магнитное поле движущихся зарядов. Закон Био-Савара-Лапласа.
Результаты экспериментального исследования действия тока на магнитную стрелку были доложены на заседании Парижской Академии Био и Саваром 30 сентября 1820 г. В математическую форму элементарного взаимодействия между элементом тока и напряженностью поля в точке облек этот закон Лаплас.
Постановка вопроса такова. Есть заряд 
, движущийся со скоростью 
. Он создает магнитное поле 
(рис.3.3). Необходимо найти его величину в точке А. Экспериментально было установлено, что:
, (3.12)
где постоянная 
зависит от системы единиц. Если 
, то:
- (3.13)
закон Био-Савара-Лапласа. В законе 
- элемент длины проводника с током; 
- радиус-вектор точки, в которой измеряется магнитное поле .
По принципу суперпозиции:
. (3.14)
Рекомендуемые материалы
Заметим, что этот закон является своеобразным двойником закона Кулона в электростатике: напряженность поля обратно пропорциональна квадрату расстояния до точки наблюдения.
Примеры.
1. Определить магнитное поле проводника, по которому течет ток величины 
(прямого тока) в точке, удаленной на расстояние от него 
(рис.3.4). Воспользуемся (3.13), где угол:
.
Вектор направлен “от нас” в точке измерения.
. (3.15)
Так как 
; 
; 
, то:
. (3.16)
Силовые линии представляют собой окружности (направление определяется по правилу буравчика).
2. Определить величину магнитной индукции на оси витка с током в форме окружности радиуса . По витку течет ток (рис.3.5).
По (3.13) векторы 
направлены в точке оси z вдоль образующих конуса. Нормальные компоненты вектора ‑ его проекции на направление, перпендикулярное оси z ‑ при суммировании взаимно скомпесируются, останутся лишь тангенциальные компоненты 
(проекции на ось z):
;
. (3.17)
В центре витка:
. (3.18)
Зависимость 
показана на рис.3.6.
При 
, (3.19)
где 
- магнитный момент витка. В СИ: [М]=А×м2.
Виток, имеющий магнитный момент, создает на оси витка поле , перпендикулярное плоскости витка и совпадающее по направлению с моментом 
. В отличие от электрического поля кольца, по другую сторону витка вектор не изменяет направление (см. для сравнения рис.1.4); направление зависит лишь от направления тока (рис.3.6). Поэтому 
- полярный вектор, а – аксиальный.
Общая формула для в любой точке пространства с радиусом - вектором :
. (3.20)
 |  | ||
Здесь
- единичный вектор вдоль . На рис.3.7 и 3.8. показаны силовые линии электрического диполя и витка с током. Видно, что поле витка с током во многом выглядит похожим на поле электрического диполя. Поэтому Ампером было введено понятие “магнитного диполя”, который представлял собой виток с током, имеющий магнитный момент: 
.
3. Найти величину индукции магнитного поля соленоида длиной 
с числом витков 
, по которому течет ток (рис.3.9).
В основу расчета положим формулу (3.17) для витка с током. Плотность намотки 
. На длине 
течет ток 
. Начало отсчета - в центре соленоида.
Рекомендация для Вас - 20 Структура общества и брачно-семейные отношения.
, (3.21)
где 
- координата точки, в которой измеряется индукция.
При 
. (3.22)
В центре соленоида 
, где 
.
