Момент инерции тела относительно произвольной оси

Момент инерции тела относительно произвольной оси.

Найдем момент инерции тела относительно оси u, проходящей через некоторую точку О (рис. 36).

Рис.36

По определению момент инерции .

Поместим в точку О начало координатных осей x, y, z. Из прямоугольного треугольника ОАМ_iследует , где . И так как радиус-вектор точки, то, проектируя это равенство на ось u, получим (, , - углы между осью u и осями x, y, z).

Как известно из тригономет­рии

Поэтому

Рекомендуемые материалы

И, группируя подобные члены, содержащие косинусы одинаковых углов, получим:

Но - расстояния от точки М_i до осей x, y, z, соответственно. Поэтому

или (2)

где I_x, I_y, I_z – моменты инерции тела относительно осей координат; I_xy, J_yz, J_xz - центробежные моменты инерции относительно осей отмеченных в индексах.

Если два центробежных момента инерции, оба содержащих в индексах названия какой-нибудь одной оси, равны нулю, то эта ось называется главнойосью инерции. Например, если J_yz = 0и J_xz = 0, то ось z – главная ось инерции.

Так как все моменты инерции зависят от того, где находится точка О, от выбора начала координат, то обязательно надо указать для какой точки определены эти моменты инерции. Если начало координат взято в центре масс С, то все главные оси инерции называются главными центральными осями инерции.

Если в данной точке координатные оси являются главными осями инерции (центробежные моменты инерции относительно их равны нулю), то формула (2) упрощается:

. (3)

Иногда по некоторым признакам нетрудно найти главные оси инерции тела.

1. Если у однородного тела имеется ось симметрии, то эта ось является главной центральной осью инерции.

Действительно. Направим координатную ось z по оси симметрии. Тогда для каждой точки тела с координатами (x_i, y_i, z_i) можно отыскать точку с координатами (-x_i, -y_i, -z_i) и поэтому центробежные моменты инерции и . Значит ось z – главная ось инерции, и центральная ось, т.к. центр масс, как известно, находится на оси симметрии. Причём, эта ось будет главной для любой точки расположенной на оси симметрии.

2. Если у однородного тела имеется плоскость симметрии, то любая ось перпендикулярная ей будет главной осью инерции для всех точек этой плоскости.

Направим ось z перпендикулярно плоскости симметрии из любой её точки О, назначив там начало координат. Тогда для каждой точки тела с координатами (x_i, y_i, z_i) можно найти симметричную ей точку с координатами (x_i, y_i, - z_i). Поэтому центробежные моменты инерции I_xz и I_yz будут равны нулю. Значит ось z – главная ось инерции.

Люди также интересуются этой лекцией: Введение.

Пример 9. Определим момент инерции диска относительно оси u, расположенной под углом к оси симметрии диска z (рис.37).

Рис.37

Оси x, y и z – главные центральные оси инерции, т.к. они являются осями симметрии.

Тогда , где - угол между осями u и z; угол - угол между осями u и y, равный ; угол - угол между осями u и x, равный 90°. Поэтому