Волновые свойства корпускул

§ 1.5. Волновые свойства корпускул.

Исследование свойств электромагнитного излучения, в частности рентгеновского, наглядно показали, что его поведение невозможно характеризовать какими-то конкретными рамками, т. е. или волна, или частица. Явление фотоэффекта, эффект Комптона, как мы уже видели, наглядно показывают, что рентгеновское излучение должно являться потоком частиц. В то же время опыты по дифракции рентгеновского излучения на кристаллах говорят в пользу его волновой природы. Таким образом, рентгеновскому излучению присущи как волновые, так и корпускулярные свойства. Данное обстоятельство наталкивает на мысль, что все микрочастицы могут вести себя подобно волнам. Были поставлены опыты, результаты которых это предположение подтвердили.

Классическими опытами, в которых были обнаружены волновые свойства частиц, являются опыты Девисона и Джермера (1927 г.). В них наблюдалась дифракция электронов, рассеянных на грани кристалла. Рассмотрим схему данного опыта. Электроны испускались раскалённой нитью, которая служила катодом. Между нитью и анодом подавалась разность дополнительная потенциалов. В аноде делалось отверстие. Электроны пролетали в него и падали на кристаллическую пластинку. Рассеянное излучение регистрировалось детектором. В первом опыте изменялся угол  падения электронов на пластинку.  Результат рассеяния отмечался на полярной диаграмме (см. рис. 15). Максимум интенсивности приходился на угол .  Причём, для каждого кристалла угол, на который приходился максимум интенсивности, был своим. Во втором опыте при фиксированном угле падения электронного пучка на кристалл измерялась интенсивность отражённого пучка электронов в зависимости от энергии (т. е. От изменяющейся разности потенциалов). Интенсивность пучка отражённых электронов измерялась по силе тока  между источником и детектором (см. рис. 15). Здесь стрелками показаны расчётные значения. Полученные зависимости соответствовали зависимостям, которые можно было бы получить, если бы исследовалась дифракция электромагнитной волны. Но, так как в эксперименте вместо волны использовались электроны, это дало возможность предположить, что дифракцию испытывают как раз они. Чуть позже были поставлены опыты Тартаковским и Томпсоном по исследованию дифракции электронов. Тартаковский использовал медленные электроны с энергией порядка 1,7 кэВ, а Томпсон – быстрые с энергиями 17,5 – 56,6 кэВ. Для наблюдения дифракции использовался метод Дебая – Шерера. В качестве кристалла они использовали металлическую поликристаллическую пластину. Рассеянные на ней электроны должны были дать интерференционную картину, то есть систему интерференционных колец, что было блестяще подтверждено в результате опыта. Существовало всё же некоторое опасение, что интерференционная картина вызвана вторичным рентгеновским излучением, которое получается при торможении электрона. Однако, если поместить мишень в магнитное поле, интерференционная картина, полученная с помощью рентгеновского излучения, не изменится, по сравнению со случаем отсутствия магнитного поля. В случае с электронами, картина должна получиться смазанной, что и имело место быть.

Несколько позже Штерном были поставлены опыты по дифракции атомов и молекул на кристалле. Зависимость распределения максимумов интенсивностей была схожа с представленной на рис. 15 для электронов.

Все эти опыты привели к возникновению мысли о том, что все микрочастицы обладают волновыми свойствами. Причём, в волновых свойствах фотонов и других микрочастиц нет различия. В 1927 г. Луи де Бройль высказал предположение, что каждой движущейся частицы, мы можем поставить в соответствие некоторую длину волны. Подобную волну назвали в последствии волной де Бройля. Установим связь между параметрами волны и движущейся частицы.

1. Для волны де Бройля, как и для любой другой электромагнитной волны, мы можем записать:       (1). С другой стороны,  для  импульса:  ;     , где - волновой вектор. Но для волнового вектора мы можем записать: , т. о. ; . Из последней формулы следует выражение для волны де Бройля:    (2). Из этого выражения следует интересный вывод, касающийся распределения интенсивностей в опытах с дифракцией электронов. Изменяя приложенную разгоняющую разность потенциалов, мы изменяем длину волны де Бройля. Когда выполняется условие Вульфа – Брэгга, возникает максимум.

Рекомендуемые материалы

2. Определим теперь фазовый вид волн де Бройля. Введём некоторые дополнительные определения. Фазовой скоростью называют скорость,  с которой перемещается в пространстве фаза  плоской монохроматической волны ,  где   (3). Другими словами, фазовая скорость – это скорость распространения точки постоянной фазы волны. Найдём эту скорость. Рассмотрим для этого выражение (3). Это уравнение чисто геометрически описывает плоскость, перпендикулярную к оси , на которой постоянна фаза волны. Таким образом, эта плоскость является как бы траекторией движения точки постоянной фазы. Поэтому, чтобы найти её скорость, необходимо взять производную от (3) по времени. Получим: , так как производная от константы будет ноль. Отсюда найдётся и фазовая скорость: . Это соотношение определяет как раз фазовую скорость. Найдём некоторые свойства фазовой скорости. Возвращаясь к уравнениям  и , выразим из них  и:  и . Основываясь на определении фазовой скорости и полученных выражениях, найдём другую форму записи для неё: . Здесь  – фазовая скорость волны, соответствующей частице;  – скорость самой частицы;  – скорость света. Таким образом, как видно из полученной формулы, фазовая скорость будет больше скорости света, однако никакого противоречия с теорией относительности это не вызывает. Очевидно, что фазовая скорость не измерима в эксперименте. Измерить можно лишь так называемую групповую скорость.

3. Групповой скоростью называют величину, приближённо характеризующую распространение негармонической волны (которая является суперпозицией группы гармонических волн). Если форма волны изменяется в результате дисперсии1 волн в среде не очень быстро, то можно рассматривать распространение негармонической волны как целого с групповой скоростью, отличной от фазовых скоростей её гармонических составляющих. Групповая скорость характеризует скорость переноса энергии волной. По определению для групповой скорости мы можем записать:  (отсюда сразу становится понятным условие, ограничивающее скорость изменения ). Возвращаясь к соотношениям, полученным для фазовой скорости, получим: . Таким образом, .

4. Если волны распространяются в недиспрегирующей среде (фазовая скорость не зависит от частоты), то групповая скорость равна скорости движения частицы .  Тогда, вспоминая выражение для фазовой скорости , мы можем записать: . Из последней формулы следует: .

Итак, мы установили, как связаны свойства частиц и волн де Бройля. Оценим теперь длину волны де Бройля. В опытах Девисона – Джермера ускоряющая разность потенциалов была В. Тогда для энергии электрона имеем выражение: . С другой стороны, кинетическая энергия электрона . На основании закона сохранения энергии необходимо положить  или . Так как импульс электрона будет , то , то есть . Отсюда . Так как , то . Оценивая численное значение , мы можем получить, что Å.

Рассмотрим теперь ещё один опыт. В 1921 г. немецкий физик Рамзауэр исследовал рассеяние электронов на атомах аргона при энергиях электрона от менее чем одного до нескольких десятков электрон-вольт. Обнаруженный им эффект назвали в последствии его именем. Он состоял в аномальной проницаемости некоторых газов (в частности аргона) для медленных электронов. Рассмотрим схему опыта (рис. 16). 

Брался триод, в одной половине которого

 электроны не ускорялись, а в другой ускорялись. Трубку триода наполняли инертным газом (аргон). Электрон, попадая с раскалённой нити катода в пространство триода,

 движется по направлению к катоду и сталкивается с молекулой газа; при этом электрон рассеивается на ней. Поэтому, чем больше будет энергия электрона, тем больше шансов, что он пролетит без столкновения, то есть тем меньше вероятность рассеяния. Таким образом, с ростом ускоряющей разности потенциалов сила тока в цепи катод – анод должна возрастать. Графически зависимость между данными величинами можно представить так (см. рис. 17). Здесь зависимость  есть зависимость вероятности рассеяния электрона от его энергии.

Введём теперь в рассмотрение несколько новых величин, которые впоследствии помогут нам количественно описать эффект Рамзауэра. Будем рассматривать сечение рассеяния частиц. Понятие сечения рассеяния связано с вероятностью столкновения частицы с атомом или ядром. Будем считать частицу точечной. Пусть электрон падает на площадь  объёма, в котором расположены молекулы с концентрацией  (рис. 18). В слое толщиной  в направлении движения электрона находится число молекул , а сумма их поперечных сечений, которая как бы закрывает собой часть площади , равна , где - коэффициент пропорциональности. Отсюда следует, что вероятность попадания электрона в одну из молекул в слое  будет равна: . Как видно из полученной формулы, коэффициент  имеет размерность площади: , отсюда и название сечения рассеяния. Рассмотрим, как же можно найти сечение рассеяния. Пусть у нас есть поток частиц, движущихся в газообразной среде. Тогда, вследствие рассеяния, плотность потока частиц убывает на величину . Если частица прошла путь , то . Решаем обыкновенное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

Рекомендация для Вас - Понятие художественной литературы.

; .   .

Последняя формула позволяет из опыта получить значение коэффициента рассеяния.

Введём теперь понятие длины свободного пробега. Так называют расстояние, пройденное частицей между двумя последовательными соударениями. Увеличение длины свободного пробега электрона напрямую связано с уменьшением вероятности столкновения его с молекулой; уменьшением сечения рассеяния. Следовательно, возрастает вероятность пролёта электрона между катодом и анодом без соударения с молекулой, то есть возрастает ток в цепи катод – анод. Длина свободного пробега пропорциональна энергии электрона. Таким образом, зависимость  будет иметь вид аналогичный указанному на первом из рисунков 17. Однако в действительности наблюдалась картина, указанная на рисунках 19 и 20. То есть при уменьшении энергии электрона от нескольких десятков электрон-вольт, сечение его рассеяния на аргоне растёт, как это и предсказывается теорией. Затем при энергии около 16 эВ поперечное сечение достигает максимума и при дальнейшем уменьшении энергии электрона уменьшается. При энергии электрона примерно 1 эВ сечение близко к нулю и затем начинает увеличиваться (см. рис. 20).

Увеличение сечения с ростом энергии электрона и тем более почти полное исчезновение рассеяния вблизи энергии 1 эВ нельзя понять с точки зрения классических представлений, так как при этой энергии атомы аргона становятся как бы не существующими для электронов, и электроны пролетают сквозь них без столкновения. Объясняется это так. Электрону мы можем поставить в соответствие волну де Бройля . Тогда при некоторой длине волны де Бройля (она, как известно, зависит от энергии электрона), будет наблюдаться дифракционный максимум или минимум. Здесь молекула газа является препятствием, на котором рассеивается электронная волна. Условие, при котором происходит хорошо выраженная дифракция таково, что длина падающей волны должна быть порядка диаметра атома. Тогда, если рассматривать оптическую аналогию, за препятствием возникает светлое пятно, а не тень. То есть электрон проходит сквозь атом без отклонения и сечение его рассеяния на атоме близко к нулю.

1 Дисперсией волн называют зависимость фазовой скорости гармонических волн в среде от частоты их колебаний.