Законы излучения абсолютно чёрного тела

Глава II. Дискретность электронных и  атомных состояний.

§ 2.1. Законы излучения абсолютно чёрного тела.                

К  концу XIX века было завершено построение термодинамики и создана теория электромагнитных явлений. Термодинамика удовлетворительно описывала широкий круг явлений, связанных с веществом, то есть с корпускулярной формой материи. Теория электромагнетизма удовлетворительно описывала явления, связанные с электромагнитным полем и, в частности, с электромагнитными волнами и светом, электромагнитная природа которого была теоретически открыта Максвеллом. В форме электромагнитных волн электромагнитное поле обрело своё самостоятельное существование, независимое от зарядов и токов, которыми оно порождается. В науку вошло представление о полевой форме материи в виде излучения. Возник вопрос о законах взаимопревращения материи в полевой и корпускулярной форме, или, другими словами, вопрос о взаимопревращении излучения и вещества. Представлялось естественным, что этот вопрос можно решить в рамках классической физики, поскольку каждая из форм материи хорошо описывалась соответствующей классической теорией. Первое указание на недостаточность классической физики для понимания взаимоотношения этих форм материи было получено при изучении излучения чёрного тела. Из опыта известно, что раскалённые до высоких температур тела начинают светиться, то есть излучать электромагнитные волны видимого диапазона. При более низких температурах тела самостоятельно не светятся, но излучают преимущественно электромагнитные волны вне видимого диапазона. Поэтому, прежде всего, возник вопрос о законах этого излучения. Рассмотрим его. Для этого введём несколько вспомогательных понятий и определений.

Полной объёмной плотностью энергии излучения  называют энергию, приходящуюся на единицу объёма: . В случае электромагнитной волны мы можем записать: .

Объёмной спектральной плотностью излучения называют объёмную плотность энергии излучения, приходящейся на единичный интервал частот: . Полная объёмная плотность энергии излучения связана с объёмной спектральной плотностью излучения так: .

Поглощающей способностью  называют отношение энергии  поглощённой телом за одну секунду в интервале частот  ко всей энергии, излучённой за одну секунду в том же интервале частот: .

Энергетической светимостью  называют энергию, излучённую участком поверхности тела за одну секунду: . Отсюда для спектральной плотности светимости мы можем записать:    (1).

Рекомендуемые материалы

Интенсивностью излучения называют энергию, проходящую за единицу времени через поверхность единичной площади . Соответственно, спектральной интенсивностью излучения называют энергию, проходящую за единицу времени через поверхность единичной площади в единичном интервале частот: . Очевидно, что интенсивность и спектральная интенсивность излучения связаны следующим соотношением: .

Поток лучистой энергии, проходящей за время  через малую площадку  в пределах телесного угла , ось которого перпендикулярна площадке , определяется следующим выражением: .

Рассмотрим некоторый объём с телами, ограниченный адиабатической оболочкой. Через некоторое время между телами в полости установится термодинамическое равновесие. В этом состоянии температура всех тел постоянная. Тела излучают энергию. Такое излучение называется равновесным. Говорят, что такое излучение имеет равновесную спектральную плотность. Неравновесное же излучение образуется у живых организмов, атомов и т.д. Для равновесного излучения существует ряд законов.

Законы теплового излучения.

1. Закон Кирхгофа. Равновесная спектральная объёмная плотность излучения  зависит только от температуры и не зависит от свойств тел в адиабатической оболочке и свойств самой оболочки: .

2. Закон Кирхгофа. В состоянии термодинамического равновесия поглощённая за одну секунду участком поверхности тела энергия излучения, должна быть равна энергии излучённой за одну секунду тем же участком поверхности: . Установим связь между излучательной и поглощающей способностью тела. Так как эти величины характеризуют только поверхность самого тела и совершенно не зависят от окружающего излучения, то в рассуждениях относительно этого излучения можно вводить любые предположения. Предположим, что излучающее тело со всех сторон окружено равновесным излучением, температура которого равна температуре тела. Это, например, можно осуществить, если в качестве рассматриваемого участка поверхности тела взять часть внутренней поверхности замкнутой полости, температура стенок которой поддерживается постоянной. Выделим из всего излучения часть, составляющую интервал частот , и рассмотрим превращения ей при излучении и отражении от стенок полости. На площадку  стенки за время  в пределах телесного угла  падает поток лучистой энергии . Часть его  отражается, остальная часть поглощается. Здесь добавляется множитель , так как по определению  есть поглощающая способность тел, а, соответственно,   – отражающая. На отражённый поток накладывается поток  собственного излучения площадки. Таким образом, от площадки  внутрь полости исходит лучистый поток . Но в состоянии равновесия тот же поток может быть представлен выражением . Приравнивая эти выражения, получим   ;   ;   ;   . Покажем, что  зависит только от температуры. Вернёмся к определению : . Распишем некоторые сомножители . Таким образом, , то есть чёрное тело не поглощает всё падающее на него излучение.

Вообще говоря, любое тело характеризуется степенью черноты. Так называю отношение поглощающей способности данного тела к поглощающей способности чёрного тела . Тела, которые хорошо поглощают падающее  на  них  излучение во  всём  интервале   частот, называют  серыми  телами. Существуют абсолютно чёрные тела – тела, полностью поглощающие всё падающее на них излучение. Очевидно, что для них , а второй закон Кирхгофа выглядит так: . Моделью абсолютно чёрного тела является полость с маленьким отверстием с посеребрёнными (зачернёнными) стенками. Классическая физика не смогла объяснить экспериментальную зависимость . Вернее смогла, но только в рамках каких-то предельных случаев: при и  (см. рис. 23). Исходя из соображений классической физики, попробуем получить выражение для объёмной спектральной плотности энергии излучения. Излучение в полости мы можем рассматривать как суперпозицию электромагнитных волн. Каждый тип волны будет характеризоваться своим пространственным распределением полей  и . Каждый тип электромагнитных волн, обладающий определённым распределением полей  и , называется модой. Для удобства будем рассматривать в качестве полости куб с ребром . При определённых условиях в полости начнут распространяться стоячие волны, то есть волны, которые являются суперпозицией волн одинаковой частоты, распространяющихся в противоположных направлениях. В кубе (рис. 24) будет находиться группа стоячих волн. Условием образования стоячей волны в полости будет следующее: разность фаз волнами должна быть кратна : . Не ограничивая общности, можно принять, что двукратное отражение от граней либо не вносит в фазу волны никаких измерений, либо изменяет фазу на .

Поэтому условие образования стоячих волн в каждом из измерений куба , где – расстояние пройденное волной. Для нашего случая  или . Для трёх групп стоячих волн имеем систему: , где  – целые числа. Число волн , волновые числа которых заключены между , , , равно числу целых чисел, заключённых в интервале , , , и поэтому  или . Тогда число волн, которые могут распространяться в полости с заданным интервалом частот, будет ;     (2). Пространство  есть пространство волновых векторов. Пусть у нас распространяются волны со всеми волновыми векторами. Тогда произведение  даёт объём шарового слоя . Так происходит потому, что каждая компонента произведения  есть проекция вектора  на соответствующую ось, а если рассматривать вектор   в сферической системе координат, то произведению его компонент  в декартовой системе координат будет соответствовать элементарный объём шарового слоя толщиной . Тогда мы можем переписать (2) в виде: . Учитывая, что независимых волн будет, на самом деле, в два раза меньше для каждой стороны куба, так как отражённую волну мы не учитываем, то тогда последнее выражение необходимо разделить на 8, так как . Тогда получим: . Перейдём теперь от  к : . Последнее выражение в этом случае запишется в виде: . Тогда концентрация стоячих волн будет . Поскольку электромагнитная волна обладает двумя возможными поляризациями, полная концентрация стоячих волн в два раза больше: . Мы получили формулу, определяющую концентрацию мод в полости. Вообще говоря, каждая из стоячих волн называется модой колебания, а число мод равно числу степеней свободы колебаний, которыми представлено излучение в полости. Теперь, если на каждую степень свободы будет приходиться средняя энергия , то плотность энергии излучения в полости будет равна . Таким образом, нахождение объёмной спектральной плотности энергии сводится к нахождению средней энергии, приходящейся на каждую стоячую волну в полости.

Рассмотрим теперь предельные случаи зависимости , которые были объяснены теоретически.

1. . Рэлей и Джинс предположили, что если излучение тепловое, то на каждую степень свободы по классической теореме о равнораспределении энергии по степеням свободы приходится энергия .  У гармонического осциллятора средняя кинетическая энергия равна средней потенциальной, поэтому его средняя энергия равна . Поскольку в условиях термодинамического равновесия в полную статистическую систему входят излучение в полости и осцилляторы стенок полости, это означает, что средняя энергия, приходящаяся на одну моду колебаний в плоскости, . Тогда объёмная спектральная плотность энергии будет равна: , или . Данная формула распределения плотности энергии теплового излучения по спектру даёт достаточно хорошее согласие с экспериментом на малых частотах. Однако простой анализ показывает, что при , . Данное явление абсолютно не согласуется с опытом. Причём при больших  рассчитанная частота оказывается значительно больше опытной. Этот факт получил название ультрафиолетовой катастрофы. Основная ошибка здесь заключается в том, что при выводе формулы не учитывались квантовые свойства системы.

Рекомендуем посмотреть лекцию "15. Что обеспечивает успех ресторану".

2. . В. Вин предположил, что каждая мода колебаний является носителем энергии , но не все моды данной частоты в полости возбуждены. Относительное число возбуждённых мод определяется распределением Больцмана: . Отсюда средняя энергия, приходящаяся на моды с частотой , , . При этом, энергия любого типа колебаний пропорциональна частоте: . С введением постоянной Планка, стало возможным записать: , а . Тогда для объёмной спектральной плотности энергии мы можем записать: . Полученное соотношение называют формулой Вина. Она описывает зависимость  лишь при больших частотах.

В 1900 г. Максом Планком была получена формула, описывающая зависимость на всём диапазоне частот. Он исходил из предположения, что осциллятор не может обладать любой энергией, а лишь дискретным набором энергий, пропорциональных некоторой минимальной энергии . Он поставил в соответствие каждой моде свой гармонический осциллятор: , где  – номер энергетического уровня. Слагаемое  получается с учётом энергии вакуума. Число мод в полости . С другой стороны, . Тогда . Обозначим через  вероятность того, что при температуре  осциллятор будет находиться на  – ом энергетическом уровне. Так как мы имеем дело с тепловым излучением, то вероятность  будет описываться распределением Больцмана: . Здесь  – энергия на  – ом энергетическом уровне. Тогда среднее значение на всех энергетических уровнях будет определяться следующим выражением: . Мы получили в знаменателе сходящуюся геометрическую прогрессию с параметрами  и . Как известно, сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна: . Таким образом, . Возвращаясь к указанному выше выражению для энергии, можно записать: . Продифференцируем последнее выражение по : , . Тогда средняя энергия, приходящаяся на один осциллятор, с учётом последнего уравнения будет равна: . Домножим полученное соотношение на . Получим: . И окончательно, . Найдём теперь объёмную спектральную плотность энергии, с помощью выражения: .     (3). Полученная формула называется формулой Планка и описывает излучение абсолютно чёрного тела во всём диапазоне частот. В пределах при и , данная формула сводится к формулам Вина и Рэлея – Джинса.  Найдём полную объёмную плотность излучения. Для этого необходимо взять интеграл от (3) по всем частотам: . Подставляя в данный интеграл полученное выше значение для объёмной спектральной плотности энергии, получим: 

. Полученный интеграл затабулирован и имеет значение: . Таким образом, . Введём обозначение . Данная величина является

константой, так как из констант составлена. Итак, для объёмной плотности излучения можно записать: . Вспоминая второй закон Кирхгофа , получим: , где  – энергетическая светимость или . Полученное уравнение определяет энергетическую светимость абсолютно чёрного тела: энергетическая светимость абсолютно чёрного тела пропорциональна четвёртой степени его температуры. Данный закон называется законом Стефана – Больцмана. Константа  в этом уравнении равна: . Найдём теперь максимальную спектральную плотность энергии излучения в единицу длин волн. Для этого в выражении (3) перейдём от частоты  к длине волны : ,    (4). По определению  , а то есть ; . Подставляя в последнее соотношение (4), получим: . Сравнивая начало и конец данного выражения, получим: , . Так как энергия излучения не может быть отрицательной, мы должны взять модуль этого выражения. В итоге получим: . Исследуем его на экстремум. . Сократим константы , . Введём для удобства обозначение: , тогда последнее выражение перепишется в виде: , , , . Мы получили итерационное уравнение относительно переменной . Решая его, найдём эту переменную, а потом из ней выразим и . . Тогда рассматривая выражение для: , нетрудно заметить, что часть его есть некоторая константа: . Поэтому мы можем получить уравнение, связывающее  и :  или, записывая это выражение в общепринятой форме, имеем: . Константа, стоящая в этом выражении справа равна: . Итак, мы получили закон смещения Вина: произведение длины волны, соответствующей максимуму спектральной плотности энергии излучения абсолютно чёрного тела на температуру излучения есть величина постоянная и независящая от рода излучающего тела: .

Данная формула имеет большое значение в астрофизике при определении температуры звёзд. Можно, например, посчитать, чему равна длина волны, соответствующая максимуму спектральной плотности энергии излучения для нашего Солнца. Известно, что температура его поверхности в среднем равна примерно 6000 К. Тогда по формуле смещения Вина получим, что .