Уравнения и передаточные функции
ЛЕКЦИЯ №5
УРАВНЕНИЯ И ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ЛИНЕЙНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ.
План лекции:
1. Приведенная непрерывная часть системы.
2. Уравнения разомкнутой импульсной системы.
3. Z-передаточные функции разомкнутых импульсных систем.
5.1.Уравнения разомкнутой импульсной системы.
Рассмотрим разомкнутую ИС, состоящую из АИЭ и непрерывной части. Ранее было показано, что ИЭ может быть представлен в виде последовательного соединения ИИЭ и ФЗ. Т.о. ИС всегда может быть приведена к соединению ИИЭ и непрерывных звеньев, как это показано на рис.5.1.
При таком представлении используют понятие приведенной непрерывной части, состоящей из собственно непрерывной части, соединенной с формирователем импульсного элемента. Ее ПФ определяется выражением:
Рекомендуемые материалы
Рис. 5.1.
Приведенная непрерывная часть может также исчерпывающим образом характеризоваться своей весовой функцией 
:
.
В соответствии с определением ИИЭ имеем:
.
Выходной сигнал y(t) в силу линейности можно рассматривать как сумму реакций приведенной непрерывной части на модулированную последовательность d-функций (рис.5.2).
Так как реакция системы на d-функцию представляет собой весовую характеристику w(t) этой системы, то для выходной переменной получим зависимость:
, 
(5.1)
Рис.5.2.
,
причем, 
.
Изменение верхнего предела суммирования объясняется необходимостью учитывать при определении реакции системы лишь импульсы, предшествующие данному моменту времени. Рис. 5.3 поясняет формулу.
В дискретные моменты съема сигнала (t=nT), при нулевых начальных условиях, будем иметь:
. (5.2)
Зависимость (5.2) представляет собой уравнение движения системы во временной области. Получим теперь уравнение системы в изображениях. Применяя к зависимости (5.2) Z-преобразование, будем иметь:
, (5.3)
где обозначено:
.
Определим Z-передаточную функцию импульсной системы как отношение Z-изображения выходной величины при нулевых начальных условиях:
. (5.4)
. (5.5)
Z - ПФ характеризует связь между входом и выходом только в тактовые моменты времени.
Из уравнения (5.5) следует, что Z-передаточная функция разомкнутой системы равна Z-преобразованию весовой характеристики 
приведенной НЧ.
Итак, в соответствии с (5.3), можно записать:
(5.5)
Напомним, что 
представляет собой последовательность d-функций:
.
Иногда возникает необходимость в определении реакции системы в смещенные дискретные моменты времени t = nT+eT, где n=0,1,...
.
В этом случае в зависимость для расчета реакции системы y(z) (5.2):
подставляют: 
:
Переходя к уравнению в изображениях, получают:
(5.6)
Здесь изображения y(z,e), W(z,e) соответствуют модифицированному Z-преобразованию решетчатых функций y[z], w[n]
.
При изменении e от 0 до 1 зависимость (5.6) позволяет определить значение выходной величины в любой промежуточный момент времени.
5.2. Вычисление Z-передаточной функции разомкнутой дискретной системы.
Рассмотрим вычисление Z-передаточной функции простейшего соединения, показанного на рис. 5.3.
Рис.5.3.
В соответствии с зависимостью (2.12) и свойствами Z-преобразования Z-ПФ W(z) может быть найдена непосредственно из преобразования Лапласа весовой функции ПНЧ, или по ее передаточной функции W(p).
Существует несколько способов получения Z-передаточной функции систем:
1. Прямой – с использованием Z-преобразования по весовой характеристике .
2. С использованием 
- преобразования устанавливающего связь между 
- ПФ непрерывной системы и 
- Z –ПФ.
с последующей заменой 
.
Для W(s) – дробно-рациональной функции, т.е.,когда 
и корни B(s) простые, предыдущее выражение трансформируется:
, (5.7)
.
В случае если необходимо определить Z- ПФ для расчета значений выходной переменной в промежуточные значения по времени используют модифицированное Z- преобразование:
(5.8)
Для простых полюсов 
, аналогично:
(5.9)
Рассмотрим пример использования вычетов для определения ПФ w(z):
Задана ПФ 
, найти ?
Известен набор наиболее часто используемых W(p), естественно предположить, что преобразование 
для указанных W(p) уже найдены и сведены в таблицы соответствия (таблица 5.1).
Таблица 5.1.
| № | W(p) | W(z) |
| 1 | | |
| 2 | | |
| 3 | | |
| 4 | | |
| 5 | | |
, 
, 
3. Итак, третий путь заключается в использовании таблиц соответствия.
Так как -преобразование обладает свойством линейности, то в случае, если W(p)- дробно-рациональное выражение, вычисление Z- ПФ можно производить следующим образом:
3.1.ПФ W(p) необходимо разложить на простейшие дроби:
3.2.Для каждой простейшей дроби 
с помощью таблицы 
определяют - преобразование:
3.3.По теореме линейности - преобразование определяют искомую Z- ПФ:
.
Полученные зависимости справедливы для случая, когда W(p) есть дробно-рациональная функция переменной p. Однако ПФ ПНЧ:
,
включает в себя и ПФ - 
- ПФ фиксирующего звена. Наиболее часто в дискретных системах в качестве ФЗ используется экстраполятор нулевого порядка, передаточная функция которого имеет вид:
.
Таким образом s(p) и W(p) в целом не являются дробно-рациональными функциями. Рассмотрим этот случай и определим для него порядок нахождения Z-ПФ W(z).
Допустим, что ПФ непрерывной части по прежнему является дробно-рациональной функцией:
,
где, B(p)-многочлен n-ой степени.
Пусть 
-простые полюсы 
.
В соответствии со свойствами -преобразования, множитель:
может быть вынесен за знак преобразования.Тогда:
Можно воспользоваться также известной формулой разложения на простейшие дроби
,
тогда:
Найдем преобразование:
.
Рекомендация для Вас - ТЕМА 9. Организация обучения по охране труда и проверки знаний требований.
Очевидно, что:
.
Пользуясь таблицей преобразования, с учетом теоремы линейности, получим:
.
Окончательное выражение для расчета :
