Восстановление вектора состояния

ЛЕКЦИЯ № 26

ВОССТАНОВЛЕНИЕ ВЕКТОРА СОСТОЯНИЯ.

План лекции:

1. Постановка задачи.

2. Наблюдатель  Луенбергера.

3. Алгоритм расчета матрицы обратных связей наблюдателя Луенбергера.

         При решении практических задач управления методами пространства состояния часто встречаются случаи, когда не все переменные состояния оказываются измеряемыми. Это обычно имеет место в объектах с распределенными параметрами, в сложных объектах управления и так далее.

         Для того, чтобы воспользоваться теорией пространства состояния для управления этими объектами, необходимо оценивать неизмеряемые переменные состояния объекта по его измеряемым входам и выходам.

Рекомендуемые материалы

         Задачи, в которых мы не знаем или не можем непосредственно измерить все компоненты вектора состояния, относятся к категории задач управления при неполной информации. Различают при этом детерминированные и статистические  методы оценивания вектора состояния.

         Рассмотрим синтез детерминированного наблюдателя состояния системы полного порядка, который, по измерениям входных и выходных переменных объекта восстанавливает вектор состояния объекта (полностью все n- компонент).

         Допустим, ОУ описывается системой уравнений:

x[k+1]=Фx[k]+H u[k];

         y[k]=cx[k] .                                                            (26.1)

         У объекта  выходов, n- порядок объекта.

         Предполагается, что выходные переменные объекта линейно независимы, так что ранг матрицы С равен p.

         Идея синтеза наблюдающего устройства, предложенного Луенбергером, основывается на предположении, что матрицы Ф, H и С в уравнении (26.1) известны, так что объект, модель которого является частью наблюдателя, может быть промоделирован. На модели объекта мы измеряем оценку вектора состояния  и находим вектор:

u[k]=-K,

         где K - матрица регулятора, с помощью которого мы воздействуем как на реальный объект, так и на модель.

         Наблюдатель описывается уравнением:

                .                         (26.2)

         Задача заключается в нахождении таких матриц Ф_Н, Н_Н, F_H, при которых   асимптотически стремится к x[k].

         Вычитая уравнение (26.2) из уравнения (26.1), мы получим вектор ошибки оценивания состояния:

.        (26.3)

         Для того, чтобы вектор ошибки  оценки  асимптотически стремился к нулю, должны выполняться следующие три условия:

Ф_Н =Ф-F_HC;

H_H=H;

         =( Ф-F_HC) .                               (26.4)

         Система, описываемая последним уравнением, должна быть устойчивой системой. Следует отметить, что при выполнении условия H_H=H вектор ошибки   неуправляем, то есть управляющие воздействия не могут воздействовать на его величину.

         Матрица F_H системы выбирается так, чтобы корни характеристического уравнения удовлетворяли условию:

,

         при этом система (26.4) является устойчивой, и вектор ошибки   стремится к нулю при .

         После подстановки выражений (26.4) в уравнение (26.2) получим уравнение наблюдателя:

                              (26.5)

         Можно заметить, что наблюдатель представляет из себя модель объекта, на которую воздействует вектор ошибки  . Соответствующая блок-схема показана на рис.26.1.

Рис.26.1.

         Помимо рассмотренного наблюдателя полного порядка (n) существуют  еще так называемые редуцированные наблюдатели (пониженного порядка), которые не восстанавливают измеряемые компоненты вектора состояния x. Описание синтеза таких наблюдателей приведено в литературе МПС.

         Получим основные соотношения для расчета параметров наблюдателя полного порядка. Итак, в случае выбора параметров наблюдателя в соответствии с рассмотренной выше методикой:

Ф_Н=Ф-F_HC;

H_H=H.

         характеристический полином наблюдателя будет иметь вид:

         .                               (26.6)

         Для определения параметров наблюдателя поступим аналогично синтезу регулятора, то  есть сначала преобразуем уравнение наблюдателя к канонической форме восстанавливаемости:

                                                  (26.7)

                   (26.8)

         Преобразование к канонической форме восстанавливаемости:

.

         Введем обозначения:

            ;                                (26.9)

.                         (26.10)

         Каноническая форма записи матрицы С имеет вид:

         Окончательное уравнение наблюдателя в канонической форме восстанавливаемости будет иметь вид:

          .  (26.11)

         Характеристическое уравнение наблюдателя:

(а₀+f_HB1)+(a₁+f_HB2)z+...+(a_n-1+f_HBn)z^n-1+zⁿ=0.

Люди также интересуются этой лекцией: Тема 6. Сыскное сотрудничество между государствами.

         Сравнивая коэффициенты этого уравнения с коэффициентами желаемого характеристического уравнения (26.6), определяем параметры наблюдателя:

f_HBi=.

         Коэффициент наблюдаемости в естественном базисе (исходном):

F_H=QF_HB.

Q- матрица преобразования исходной системы уравнений к канонической форме восстанавливаемости.

         Алгоритмы преобразования матрицы к каноническим формам подробно изложены в книгах по матричному счислению, а также по МПС и хорошо реализуются на ЭВМ.