Анализ устойчивости импульсных систем методом ЛПЧХ

ЛЕКЦИЯ № 13

АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ИМПУЛЬСНЫХ

СИСТЕМ МЕТОДОМ ЛПЧХ.

План лекции:

1. Связь ЛЧХ с годографом Найквиста.

2. Критерий устойчивости ИС в терминах ЛПЧХ.

3. Критерий устойчивости ИС при наличии полюсов в разомкнутой системе.

Вернемся к структурной схеме ИС и рассмотрим, как должна себя вести псевдочастотная ЛАФХ разомкнутой системы (рис.13.1), для того, чтобы замкнутая система была устойчива.

Рекомендуемые материалы

Отметим на годографе АФПЧХ разомкнутой системы характерные частоты  и ,  при   ; а при  ,      (рис.13.2).

Анализируя расположение АФХПЧ устойчивой системы можно видеть, что  .

Рассмотрим, как проявляется это свойство в псевдочастотных ЛАФЧ.

         С формальной точки зрения ПЧ характеристика ИС аналогична по своим свойствам частотным характеристикам непрерывной системы. Псевдочастота изменяется в диапазоне от 0 до .ПЧХ обладают свойствами асимптотичности.

Далее, поскольку критерий Найквиста для дискретных систем аналогичен критерию Найквиста для непрерывных систем, то все рассуждения связанные с формулировкой этого критерия в терминах ЛАФЧХ для непрерывных систем могут быть перенесены на дискретные системы с применением ПЧХ.

Формулировка:

         Если разомкнутая ИС устойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы в интервале псевдочастот, где ЛАПЧХ дискретной системы положительна, разность между числом положительных и отрицательных переходов ЛФПЧХ через линию -p была равна нулю:

                                   .

         При этом, как и ранее положительным переходом считается переход в сторону возрастания ЛФПЧХ, отрицательным – в сторону убывания ЛФПЧХ (рис.13.3).

Если ПФ разомкнутой системы имеет полюсы, лежащие на единичной окружности, то при соответствующих значениях аргумента ЛАЧХ системы стремиться к бесконечности, а ФЧХ изменяется скачком на величину  , где r – порядок полюса.

         Формулировка для ПЧХ:

Полюсу Z=1 соответствует  . Так как при   учитывается не вся величина скачка ФХ, а только его половина, то при исследовании устойчивости для  следует дополнить ФХ скачком на  , где r – порядок полюса Z=1.

Пример:

Допустим Z – ПФ разомкнутой системы имеет полюс Z=1 второго порядка. Псевдочастотная ЛАФХ такой системы представлена на рисунке (13.6):

Дополняя ЛАФПЧХ скачком величиной      при  , можно сделать вывод о том, что замкнутая система будет неустойчивой.

         На рис.13.8  показана АФПЧХ и ЛАФПЧХ ИС, передаточная функция которой имеет полюс  второго порядка.

Дополняя ЛФЧХ скачком на -p, получим,  что в интервале положительности ЛАЧХ число отрицательных переходов ЛФЧХ через линию

-p равно числу положительных переходов и, т.о. замкнутая система будет устойчивой.

         Характерной особенностью использования логарифмического критерия для дискретных систем является то, что ЛФЧХ, как правило, заканчиваются на линии , т.е.:

;

Рекомендуем посмотреть лекцию "19 - Интерфейс ЭВМ с видеотерминалом".

         Если при этом   , то замкнутая дискретная система будет неустойчива.

         Для дискретных систем, также как и для непрерывных систем можно ввести понятия запасов устойчивости по амплитуде  и по фазе  (рис.13.9).

         Запас устойчивости по амплитуде показывает, во сколько раз можно увеличить коэффициент передачи разомкнутой системы без потери устойчивости.

         Запас по фазе показывает величину дополнительного допустимого фазового запаздывания, при котором система еще устойчива.

         Аналогично непрерывным системам  и косвенно отображают динамические показатели системы.