Математическая модель изменения уровня жидкости

12. Математическая модель изменения уровня жидкости в резервуаре, из которого жидкость откачивается насосом. Переходные процессы в

Производительность F_p постоянна.

Для нахождения зависимости уровня жидкости в аппарате L от входных величин F_пр и F_p (в м³/с) составим уравнение материального баланса аппарата:

где V — объем жидкости в аппарате, м³; t — время, с. Отсюда скорость изменения объема жидкости в аппарате:

Скорость изменения уровня жидкости L, если площадь горизонтального сечения аппарата А (в м²) неизменна по высоте

Рекомендуемые материалы

Таким образом, скорость изменения уровня в резервуаре пропорциональна разности потоков жидкости на входе и выходе. Уровень жидкости принимает постоянные значения во времени (скорость dL/dt=0) только при отсутствии рассогласования потоков F_пр и F_p.

Проинтегрируем уравнение (II,6) в пределах от 0 до t

Следовательно, выходная величина объекта пропорциональна интегралу от изменения его входных величин.

При ступенчатом изменении нагрузки объекта на величину ΔF уровень жидкости L изменяется по зависимости (рис II-5):

Рис. II-5. Переходная характеристика нейтрального объекта первого порядка.

Как следует из уравнения (II,8), скорость изменения выходной величины при ступенчатом возмущении ΔF постоянна и равна

При расчетах систем автоматизации уравнение динамики объекта представляют в относительных величинах. Предполагая, что F_nр является возмущением, a F_p — регулирующим воздействием (см. рис. II-1), имеем

где L₀ и F₀ — значения соответствующих величин при равновесном состоянии объекта.

Записав уравнение (II,6) в приращениях и введя относительные величины, получим уравнение динамики:

Из уравнения (II,11) видно, что отношение AL₀/F₀ имеет размерность времени. Его называют временем разгона объекта и обозначают через T_ε. Под этим термином донимают время, в течение которого выходная величина объекта у, изменяясь с постоянной скоростью, достигает значения входной величины z. Время разгона T_ε прямо пропорционально емкости объекта и характеризует его инерционные свойства.

Заменяя коэффициент в левой части уравнения (II,11) через T_ε, получим уравнение динамики нейтрального объекта первого порядка в общем виде

Интегрируя уравнение (II,12), найдем

В нашем случае х=0. Величину, обратную T_ε, часто называют скоростью разгона объекта ε, под которой понимают скорость изменения выходной величины у при предварительном ступенчатом изменении входной величины z, равном единице. Действительно, при единичном ступенчатом возмущений z—x=1(t) изменение выходной величины у подчиняется зависимости:

Передаточная функция нейтрального объекта первого порядка:

В динамическом отношении такой объект представляет собой интегрирующее звено.

Нейтральным объектам первого порядка присущи только емкостные (инерционные) свойства, что выражается, например при регулировании уровня L, степенью влияния величины F_np—F_p на скорость dL/dt. Это влияние зависит от площади поперечного сечения аппарата. При большем значении А скорость изменения уровня меньше и наоборот (см. рис. II-5).

В лекции "61. Мостиковая гипотеза мышечного сокращения" также много полезной информации.

Для рассмотренного выше аппарата емкость равна

Из сравнения уравнений (II,6) и (II,16) следует, что емкость резервуара численно равна площади его горизонтального сечения. Единицей измерения емкости в данном случае является м².

Емкость объектов зависит от протекающих в них процессов. Так емкость тепловых объектов, в которых осуществляется теплообмен при регулировании в них температуры, находят по изменению теплового потока Δq, Вт, вызывающего приращение температуры T на 1 °С в течение 1 ч:

Емкость аппарата зависит от теплоемкости с_т, находящегося в нем продукта. Единицей измерения емкости теплового объекта является Дж/°С.