Направляющие системы

Раздел 16. Направляющие системы.

16.1. Прямоугольный волновод

Электрические волны   (и ) тип волны Е                                    

 (12.3. 14) имеет в декартовой системе координат вид :      1

 Решение (1) :                                        2

где  Х(Х) - функция только Х  ,  Y(y) - функция только Y .

(2)® (1) Þ     3

Рекомендуемые материалы

Выполнение (3) при произвольных значениях Х и Y возможно, если

                  4

где                                   5

               6

Решение (6) имеет вид:

              7

(7)® (2) Þ   (*) .

Т.к. стенки волновода предполагаются идеально проводящими , то, применяя граничное условие :      при х=0 ,х=a и при y=0, y=в

это возможно , если :,

для этого необходимо : 8

где   и имеет смысл амплитуды продольной составляющей .

(1)и (2) в декартовой системе координат имеют вид :

Подставляя (8) получим :

    9

Как следует из (8) , (9) структура поля волн типа  Е  в плоскости поперечного сечения соответствуют структуре стоячих волн, причем  m  равно числу полуволн , укладывающихся вдоль стенки длиной а , и  n - число полуволн , укладывающихся вдоль стенки длиной  в . Каждой паре чисел  m и  n  соответствует определенная структура ЭМП , обозначаемая Еmnа .

Отметим, что структуру волны Еz1 можно получить повторением структуры волны Е11 вдоль соответствующей координаты .

,

,

,

.

Низшим типом среди волн Еmn , обладающей наибольшей  lкр , является волна  Е11 .Волны Еmn с различной структурой поля  , которым соответствуют одинаковые значения  g , имеют равные коэффициенты распространения , фазовые скорости и скорости распространения энергии , называются вырожденными .

16.2. Магнитные волны(и )    

 (12.3.15) имеет в декартовой системе координат вид :                           10

   11

На поверхности идеально проводящих стенок волновода должно  выполнятся граничное условие : .

                            12

                        13

Подставляя (12) , (13) в (11) , приходим к соотношениям

                                                  14

Как следует из (14) , у волн Н ,как и у волн Е ,

 ,

т.е. волны Н и  Е с равными индексами являются вырожденными .

Подставляя в (11)  (14) и значения , получим :

                                   15

где Н0Z - =АС - амплитуда продольной составляющей магнитного поля.

Соотношения (8.7.1) , (8.7.2) в декартовой системе координат имеет вид:

    16

Как следует из (15), (16) , у волн Н , как и у волн Е , структура поля в плоскости поперечного сечения соответствует структуре стоячих волн .

Как следует из равенств (15),  (16),  у волн  Н, в отличие от волн Е, обращение в нуль одного из индексов ( m или n) не влечет за собой обращения в нуль всех составляющих поля . Поэтому, если полагать а>в, то низшим типом волн Н является волна Н10 .

,

Поскольку , то волна Н10  является низшим типом волны не только среди волн Н , но и среди всех возможных типов волн в прямоугольном волноводе . Это означает , что при l>2а передача энергии по прямоугольному волноводу невозможна .      ,

,

.

16.3. Волна Н10

Волна Н10  имеет наибольшую критическую длину волны . Поэтому на заданной частоте размеры поперечного сечения волновода . при котором возможна передача энергии по волноводу , наименьшие для этой волны .

Полагая в (15), (16)  m=1 и  n=0 , получим :

                         17,

  18

                   19

                                     20

Остановимся на картине распространения поля волны Н  в плоскостях параллельных широкой стенке волновода .

В ЭМП волны Н10  , магнитные силовые линии охватывают токи смещения , текущие между широкими стенками параллельно оси  у .

Максимальная плотность тока смешения находится в центре замкнутых магнитных силовых линий , где напряженность электрического поля равна

нулю

.

 ,

,

,

16.4. Диаграмма типов волн прямоугольного волновода

                              16.5. Круглый волновод.      

В круглом волноводе возможно раздельное существование волн E и H и невозможно распространение волн T.

16.6. Электрические волны

При анализе воспользуемся цилиндрической системой координат, совместив ось с продольной осью волновода.

Ур-ние  в полярной системе координат примет вид:            1

Решение (1):                                  2

Подставив (2)  в (1),  умножив обе части на r², выпполнив дифференцирование и разделив полученное уравнение на , получим

                                                                            3

Левая часть (3) зависит только от r, правая - только от j. Переменные r и j - независимые. Следовательно (3) - равенство двух независимых функций. Это возможно, если каждая из функций равна постоянной. Обозначая постоянную m², приходим к двум дифференциальным уравнениям:

                            4

              5

                6

                            7

Решение уравнения (4) имеет вид

,

где A и B - произвольные постоянные. Условие (7) выполняется, если m=0,1,2...

Уравнение (5) является уравнением Бесселя. Его решение можно представить в виде                                                                9

где  и  - функции Бесселя m-го порядка первого и второго рода, а - произвольные постоянные.

              10

В отношении (9) функция Бесселя второго рода при  стремится к ¥. Т.к. напряженность поля в любой точке волновода должна быть ограничена, то необходимо потребовать . Тогда

                              11

где  - амплитуда продольной составляющей электрического поля.

Подставим (11) в  (12.6. 1) и  (12.6. 2), учитывая, что :

        12

где штрих означает дифференцирование по всему аргументу функции Бесселя.

Согласно граничному условию

                                                                               13

Подставляя (11) в (13),  получаем

                                                                14

Имеется бесконечно большое число значений аргумента, при которых функция Бесселя равна нулю. Эти значения называются корнями функции Бесселя. Обозначая n-й корень функции Бесселя m-го порядка через , из (14) находим , откуда                                   15

Нумерация Е волн, отличающихся друг от друга по структуре поля в плоскости поперечного сечения волновода, осуществляется в соответствии с порядковым номером корня уравнения (14).  При этом индекс m соответствует числу целых стоячих волн поля, укладывающихся по окружности волновода, а индекс n характеризует распределение стоячих волн вдоль радиуса волновода.

Несколько первых корней ф-ии Бесселя  в порядке их возрастания и соответствующие им критические длины волн  представлены в таблице.

Низшим типом среди волн E в круглом волноводе является волна E₀₁.

,     

,          

,
,                 

16.7. Магнитные волны ()

Будем рассуждать аналогично случаю с электрическими волнами

       17

Отметим, что при выполнении J_m(ga)=0 согласно

                                                                       18

Несколько первых корней функции Бесселя  в порядке их возрастания и соответствующие длины волн  представлены в таблице.

Низшим типом среди не только волн H, но и всех волн в круглом волноводе, как следует из сравнения двух таблиц, является волна H₁₁.

             19

Поэтому уравнение  эквивалентно уравнению

                                                          20

При m=0 уравнение (20) примет вид

                                                                         21

Из сравнения (21) и (14) вытекает, что

                                                                          22

 т.е.        , и в круглом волноводе волны E_1n и H_0n являются

вырожденными.

16.8.  Токи на стенках прямоугольного и круглого волноводов.

Токи в прямоугольном волноводе при распространении волны H₁₀

Предположим, что стенки волновода являются идеально проводящими. В этом случае токи проводимости текут по поверхности стенок. Плотность поверхностного тока численно равна напряженности тангенсальной составляющей магнитного поля у поверхности проводника. Вектор плотности поверхностного тока направлен нормально к вектору напряженности магнитного поля.                            1

Структура поля волны H₁₀ изображена на рис. стр. 52. Согласно (1) и (19) плотность продольного тока на широкой стенке равна

             2

Распределение  показано на рис. Продольные токи на нижней и верхней стенках противофазны.

Согласно (1) и ( 17) плотность поперечного поверхностного тока на широких стенках

               3

Распределение  показано на рис. На узких стенках, параллельно оси y, поверхностный ток определяется только составляющей  магнитного поля и, соответственно, имеет только составляющую .

Как следует из (17), H_z у узких стенок имеет постоянную амплитуду H_0z.

Плотность поверхностного тока на узких стенках равна

          4

Модуль комплексной плотности тока в любой точке поверхности широких стенок волновода

         5

Распределение суммарной плотности тока показано на рис.

16.9. Токи в круглом волноводе при распространении волны H₁₁

Рекомендация для Вас - 7.3 Структурно-функциональная теория культур А.Рэдклифф-Брауна.

Структура ЭМП волны H₁₁ изображена на рис. стр. 56.

У поверхности волновода имеются две отличные от нуля составляющие вектора напряженности магнитного поля H_j и H_z, которым, согласно (1) (где следует положить ) соответствуют составляющие тока проводимости .

16.10. Токи в круглом волноводе при распространении волны H₀₁

Структура волны H₀₁ изображена на рис. стр. 56. У поверхности волновода отлична от нуля лишь продольная составляющая магнитного поля, которая согласно (   .2.  16) по всему периметру волновода равна

                  6

В соответствии с (9.3.1) на стенках волновода существуют только поперечные  поверхностные токи (кольцевые токи). Плотность этих токов одинакова по всему периметру волновода и описывается выражением (6)