Диэлектрическая проницаемость. Электрическая индукция
§ 2.4. Диэлектрическая проницаемость. Электрическая индукция.
Как было показано в §2.3, в диэлектриках источниками поля кроме сторонних являются также и связанные заряды. Поэтому теорема Гаусса для 
запишется:
. (2.24)
Так как из (2.23) 
, то: 
. Тогда:
, или
. (2.25)
Если ввести вектор 
, то электрическая индукция 
измеряется в тех же единицах, что и 
, т.е. в Кл/м2, - В/м, и из (2.25) получим:
. (2.26)
Это теорема Гаусса для вектора .
Рекомендуемые материалы
Поток вектора через замкнутую поверхность равен стороннему заряду, заключенному внутри этой поверхности.
Видно, что единственным источником являются свободные заряды. Вектор начинается на 
и заканчивается на 
.
Учтем, что: 
(2.19), тогда:
, (2.27)
- (2.28)
диэлектрическая проницаемость.
Применив (2.26) для точечного заряда, получим:
; 
.
. (2.29)
Если учесть, что 
, то напряженность поля точечного заряда в диэлектрике:
, (2.30)
то есть внутри диэлектрика поле в 
раз меньше, чем в вакууме. Именно с рассмотрения вопроса, почему поле в диэлектрике меньше, чем внешнее (или поле в вакууму) и начиналось изучение электрического поля в диэлектрике (§2.3). Отсюда ясен физический смысл . Во столько же раз меньше и потенциал точечного заряда:
. (2.31)
Тогда, емкость конденсатора при наличии диэлектрика в раз больше емкости, между пластинами которой содержится вакуум.
Рассмотрим теперь граничные условия для 
на границе двух диэлектриков.
На границе двух диэлектриков (рис.2.14) в поле возникают связанные заряды. Имеются две границы – 1-2 и 2-1 и две нормали на границе 
и 
. Они и показывают, какую границу мы рассматриваем.
1. Рассмотрим границу 1-2 (рис.2.15). Нормаль положительна, при этом 
(например, воздух-диэлектрик).
Чтобы вывести условия для нормальных составляющих, используем теорему Гаусса. В качестве замкнутой поверхности рассмотрим цилиндр (рис.2.15), для которого:
, 
.
Тогда из (2.23), 
- связанные заряды.
, (2.32)
но так как 
, то из (2.19) следует, что:
, 
.
Тогда 
, что и видно из рис.2.14.
Если 
, т.е. на границе нет сторонних зарядов, то, применив (2.26) и (2.24), получим:
, (2.33)
. (2.34)
Но так как 
, то . Это согласуется с результатами для 
. С учетом знака 
для границы 1-2 запишем граничные условия (2.32-2.34):
,
,
.
Так как 
, то:
. (2.35)
2. Рассмотрим границу 2-1 (рис.2.16): 
.
Используя теорему Гаусса как и на границе 1-2 и учтя, что 
, 
, получим:
;
; 
;
Тогда: 
; при этом 
, что согласуется с рис.2.14. Чтобы найти тангенциальные составляющие, используем теорему о циркуляции вектора (1.27). Выбрав контур в виде прямоугольника абвг, получим условие для 
.
;
;
. (2.36)
Подставляя выражения для 
и 
, получим:
. (2.37)
При 
; 
.
Преломление силовых линий на границе.
Возьмем, как и прежде , тогда: из (2.35) и (2.36):
, ,
а также из (2.32):
, ,
Поэтому углы 
(см. рис.2.18).
Тогда 
, т.к.
. (2.38)
Силовые линии поля ведут себя, как показано на рис.2.18, т.е. преломляются на границе.
Пример.
Точечный заряд 
находится в центре шара из диэлектрика с проницаемостью 
. Радиус шара 
. Шар окружен безграничным диэлектриком с проницаемостью 
(рис.2.19). Найти 
на границе диэлектрика и связанный заряд внутри шара.
Напряженность поля как функция расстояния 
от центра шара по теореме Гаусса для (2.26) и формуле (2.27) запишем:
.
Тогда:
; и
. (2.39)
На границе 1-2 между диэлектриками:
Рекомендация для Вас - 7.2 Культура и духовная жизнь.
. (2.40)
Видим, что знак зависит от соотношения между и . При 
, , 
, 
. Внутри шара при 
из (2.23):
.
Подставив (2.39), получим:
. (2.41)
Видно, что внутри шара всегда появляется связанный заряд 
, если заряд .
