Плазма в магнитном поле

лекция 2

ПЛАЗМА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

1. «Вмороженность» магнитного поля

Внешнее магнитное поле оказывает существенное влияние на свойства плазмы. Рассмотрим магнитный поток  через поверхность, опирающуюся на замкнутый контур , проведённый в плазме. Этот магнитный поток может изменяться либо за счёт изменения контура, каждый элемент которого движется с локальной скоростью  плазмы. Скорость изменения магнитного потока за счёт движения контура определяется выражением:

                                  ,                                         (1)
где  – элемент площади, описываемый элементом контура  при его движении со скоростью .

Осуществляя циклическую перестановку векторов, получим:

                                  ,
используя далее теорему Стокса имеем:

                               .                                      (2)

Скорость изменения магнитного потока за счёт изменения магнитного поля во времени запишется так:

Рекомендуемые материалы

                       .                              (3)

Суммируя (2) и (3) и учитывая уравнение Максвелла , получим:

                             .                                    (4)

Правая часть (4) обращается в нуль, если выполняется равенство:

                                       ,                                              (5)
при этом . Таким образом, при выполнении (5) магнитное поле оказывается «вмороженным» в плазму: магнитный поток  через любой замкнутый контур, элементы которого движутся с локальной скоростью плазмы, остаётся постоянным. Условие (5) соответствует условию идеальной проводимости плазмы. «Вмороженность» магнитного потока в случае идеальной проводимости можно объяснить следующим образом: согласно закону электромагнитной индукции Фарадея при изменении магнитного потока через поверхность, опирающуюся на замкнутый контур, в контуре возникает ЭДС. В случае контура из идеального проводника ЭДС должна была возбуждать бесконечно большой ток, что невозможно. Следовательно, идеальный контур должен увлекать за собой магнитные силовые линии так, как если бы они были в него «вморожены».

Так как пересечение линий индукции магнитного поля приводит к возникновению ЭДС индукции, то «вмороженность» магнитного поля означает, что заряженные частицы идеально проводящей плазмы движутся вдоль линий индукции магнитного поля.

Отметим, что «вмороженность» магнитного поля в плазму в значительной степени определяет картину нарастания магнитного поля при сжатии плазмы и имеет большое значение в ряде прикладных задач, например, в астрофизике.

2. Скиновая длина и скиновое время

Если учесть конечную проводимость, то условие (5) уже не будет удовлетворяться. В системе координат, связанной с плазмой, будут действовать электрические поля, вызывающие электрические токи. В приближении магнитной гидродинамики ток считается подчиняющимся закону Ома:

                            ,                                   (6)
здесь  – проводимость (в этом приближении считается скалярной величиной).

Для плазмы, находящейся в магнитном поле, закон Ома (6) является приближённым, так как он не учитывает анизотропию проводимости.

Из (6) следует, что:

                                       .

Воспользуемся уравнением Максвелла, пренебрегая токами смещения:

                                        .

После подстановки имеем:

                               .

Применим операцию к обеим частям полученного равенства:

                      .

Воспользуемся уравнением Максвелла  и формулой векторного анализа , и учитывая, что , получим:

                            .                                   (7)

Рассмотрим простейший случай, когда движение вещества отсутствует, то есть . Тогда:

                                    .                                           (8)

Это уравнение тождественно по виду с уравнением диффузии (второй закон Фика),  роль коэффициента диффузии играет величина:

27 Метод Бубнова - лекция, которая пользуется популярностью у тех, кто читал эту лекцию.

                                        ,                                               (9)
обратно пропорциональная проводимости плазмы. Можно сказать, что из-за конечной проводимости магнитное поле как бы просачивается сквозь плазму по диффузионному закону с коэффициентом диффузии .

Глубина просачивания поля в течение заданного времени :

                                 .

Для переходного процесса время  порядка обратной частоты  и, следовательно:

                                       .                                            (10)
называют толщиной скин-слоя, а в более общем случае непериодических процессов выражение (10) называют выражением для скиновой длины. Можно оценить время просачивания магнитного поля на заданную глубину :

                                    ,
эту величину называют скиновым временем.