Ускорение точки в сложном движении. Теорема Кориолиса

Ускорение точки в сложном движении. Теорема Кориолиса

В случае сложного движения точки, независимо от характера переносного движения, абсолютная скорость точки определяется по правилу параллелограмма скоростей. Однако характер перенос­ного движения существенно влияет на определение абсолютного ускорения точки. Как будет показано ниже, при поступательном дви­жении подвижной системы координат абсолютное ускорение точки определяется по правилу параллелограмма ускорений, т. е. скла­дывается из переносного и относительного ускорений. Если же дви­жение подвижной системы координат не является поступательным, то кроме переносного и относительного ускорений появляется доба­вочное ускорение, называемое поворотным или кориолисовым. Ска­занное вытекает из теоремы, носящей название теоремы Кориолиса.

Теорема Кориолиса. Если переносное движение является враща­тельным, то абсолютное ускорение точки равно векторной сумме переносного, относительного и поворотного ускорений.

По  определению ускорения точки получим

ω_a=

Так как переносное движение вращательное, то по формуле Эйлера (11.69)

υ_e=ω_e x r,

где   ω_e — мгновенная   угловая    скорость   переносного   движения;             r — радиус-вектор точки.

Дифференцируя по времени, получим

Рекомендуемые материалы

На  основании  (11.78)

Следовательно,

где

ε_е х r = ω_eτ,   ω_е х υ_е = ω_en,   ε_е х r + ω_е х υ_е = ω_e.

Поэтому

= ω_e+ ω_e x υ_r

Пользуясь понятием локальной производной (11.78),  найдем

где . Следовательно,

= ω_r+ ω_e x υ_r.

Таким образом,

ω_a = ω_e+ ω_e x υ_r + ω_r+ ω_e x υ_r ,

или

ω_a = ω_e+ ω_r + 2ω_e x υ_r .

Итак, в выражение абсолютного ускорения точки кроме перенос­ного ω_e  и относительного ω_r ускорений входит дополнительное сла­гаемое 2ω_e x υ_r называемое поворотным или кориолисовым уско­рением ω_c:

                                                ω_c = 2ω_e x υ_r.
Поэтому

ω_a= ω_e+ ω_r+ ω_c.

Физический смысл Кориолисовa ускорения

Чтобы уяснить физический смысл кориолисова ускорения, нужно выяснить причины появления этого ускорения. Покажем, что причинами появления этого ускорения являются изменения вектора относительной скорости, вызванные переносным движением и изменение вектора переносной скорости, вызванное относительным движением точки.

Информация в лекции "5 История археологических раскопок Древнего Двуречия" поможет Вам.

Действительно, рассмотрим, например, движение точки М вдоль двух отрезков ОА и О₁А₁ , из которых ОА движется поступательно, а О₁А₁ вращается вокруг оси О₁, перпендикулярной к плоскости чертежа (рис. 58, а).

Так как переносное движение точки М, движущейся по ОА, вызвано поступательным движением отрезка ОА, то пере­носные скорости этой точки в любых ее положениях на отрез­ке ОА будут равны между собой. Переносные же скорости точки М₁, движущейся по вращающемуся отрезку О₁А₁, в разных ее положениях будут различными, т. е. ,          

Таким образом, переносная скорость точки М₁ изменяется в зависимости от ее относительного движения. Следовательно, скорость изменения этой скорости точки во времени, т.е. получаемое добавочное ускорение, будет пропорционально величине относительной скорости υ_r и угловой скорости переносного движения  ω_е.

В этом заключается первая причина появления кориолисова ускорения.                   Второй причиной появления этого ускорения является следующая. Относительная скорость точки М₁, т. е. υ_rМ1 , зависит от переносного вращатель­ного движения отрезка О₁М₁, так как при вращении последнего будет изменя­ться направление относительной скорости (рис. 58, б). Следовательно, скорость изменения скорости точки во времени, т. е. ускорение точки, зависящая от ука­занной выше причины, будет также пропорциональна величине относительной скорости υ_r и угловой скорости переносного движения ω_е. О. И. Сомов обратил внимание на то, что кориолисово ускорение как бы поворачивает относительную скорость υ_r в направлении переносного вращательного движения. Это послужило поводом               О. И. Сомову назвать это ускорение поворотным.

Приведенный пример наглядно иллюстрирует механизм появле­ния поворотного ускорения. В общем случае физический смысл этого ускорения выясняется из формул § 4 настоящей главы: изменение переносной непоступательной скорости во времени вызывается не только переносным, но и относительным движением точки. Соот­ветствующее дополнительное ускорение равно  ω_e x υ_r. Изменение относительной скорости во времени вызывается не только относи­тельным, но и переносным движением точки при непоступательном движении подвижной системы координат. Соответствующее допол­нительное ускорение равно ω_e x υ_r . Таким образом, дополнитель­ные ускорения точки, обусловленные обеими указанными причинами, равны между собой. Общее дополнительное (кориолисово) ускорение, появление которого связано со взаимным влиянием друг на друга отно­сительного и переносного движений точки при непоступательном движении подвижной системы координат, равно удвоенной величине ω_e x υ_r в соответствии с формулой (II. 82).