Абсолютное, относительное и переносное движения точки

СЛОЖНЫЕ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ

§ 1. Абсолютное, относительное и переносное движения точки

В ряде случаев приходится рассматривать движение точки по отношению к системе координат О₁ξηζ, которая, в свою очередь, движется по отношению к другой системе координат Охуz условно принятой в качестве неподвижной. В механике каждую из указан­ных систем координат связывают с некоторым телом. Например, рас­смотрим качение без скольжения колеса вагона по рель­су. С рельсом свяжем неподвижную систему координат Аху, а подвижную систему   Oξη свяжем с центром колеса и предположим, что она движется поступательно. Движе­ние точки на ободе колеса является составным или сложным.

Введем следующие определения:     

1. Движение точки относительно системы координат Охуz (рис.   53)  называется абсолютным.

2. Движение точки относительно  подвижной системы координат  O₁ξηζ   называется населенным.

3. Переносным движением точки называют движение той точки тела, связанного с подвижной системой координат О₁ ξηζ, относи­тельно неподвижной системы координат, с которой в данный момент совпадает рассматриваемая движущаяся точка.

Таким образом, переносное движение вызвано движением под­вижной системы координат по отношению к неподвижной. В приве­денном примере с колесом переносное движение точки обода колеса обусловлено поступательным движением системы координат О₁ ξηζ по отношению к неподвижной системе координат Аху.

Рекомендуемые материалы

Уравнения абсолютного движения точки получим, выразив коор­динаты точки х, у,z как функции времени:

                                 х=х(t),    у = у(t),    z = z(t).

Уравнения  относительного движения  точки имеют вид

ξ = ξ (t),    η = η (t),    ζ = ζ (t).

В параметрической форме уравнения (11.76) выражают уравне­ния абсолютной траектории, а уравнения (11.77) — соответственно уравнения относительной траектории.

Различают также абсолютную, переносную и от­носительную скорость и соответственно абсолютное, переносное и относительное ускорения точки. Абсо­лютную скорость обозначают υ_a, относительную — υ_r, переносную — υ_е Соответственно ускорения обознача­ют: ω_а, ω_r и ω_е.

Основной задачей кинематики сложного движения точки является установление зависимости между скоростями и ускорениями точки в двух системах координат: неподвижной и под­вижной.

    Для доказательства теорем о сложении скоростей и ускоре­ний в сложном движении точки введем понятие о локальной или относительной производной.

Теорема о сложении скоростей

Теорема. При сложном (составном) движении точки ее абсолютная скорость υ_a  равна векторной сумме отно­сительной υ_r  и переносной υ_е скоростей.

Пусть точка М совершает одновременные движения по отношению к неподвижной и подвижной системам координат (рис. 56). Обозначим угловую скорость поворота системы коор­динат Оξηζ через ω. Положение точки М определяется радиусом-вектором r.   

Установим соотношение между скоростями точки М по отноше­нию к двум системам координат — неподвижной и подвижной. На основании доказанной в предыдущем параграфе теоремы

Из кинематики точки известно, что первая производная от ра­диуса-вектора  движущейся  точки  по  времени  выражает  скорость этой точки.  Поэтому  = r = υ_а — абсолютная скорость, =υ_r — относительная скорость,

а ω x r = υ_е — переносная ско­рость точки М. Следовательно,

Вместе с этой лекцией читают "Бумын-каган, Молдо Кылыч, М. Аммосов".

υ_а= υ_r+ υ_е

Формула (11.79) выражает правило параллелограмма скоростей. Модуль абсолютной скорости найдем по теореме косинусов:

υ_a=

В некоторых задачах кинематики требуется определить относи­тельную скорость υ_r. Из (11.79) следует

υ_r= υ_а+( - υ_е ).

Таким образом, чтобы построить вектор относительной скорости, нужно геометрически сложить абсолютную скорость с век­тором, равным по абсолютной величине, но противоположно направ­ленным переносной скорости.