Популярные услуги

Главная » Лекции » Физика » Основы статистической физики » Флуктуации. Распределение Гаусса

Флуктуации. Распределение Гаусса

2021-03-09СтудИзба

2.10. Флуктуации. Распределение Гаусса

Статистическое и чисто термодинамическое описание тепловых процессов различаются тем, что из законов статистической физики с неизбежностью вытекает существование флуктуаций. В то же время вероятность сколько-нибудь заметных флуктуаций в системе, содержащей большое число частиц, чрезвычайно мала.

Открытие многочисленных примеров флуктуационных процессов явилось блестящим подтверждением законов статистической физики и послужило одним из важнейших моментов в окончательном утверждении молекулярной теории.

В работах Эйнштейна и Смолуховского было показано, что целый ряд давно известных физических процессов обусловлен явлениями флуктуаций, и была развита комплексная теория этих вопросов, оказавшихся в прекрасном согласии с экспериментами.

Рассмотрим флуктуации в замкнутой системе.

Пусть система находится в состоянии статистического равновесия и имеет энтропию S0. Предположим теперь, что состояние системы изменяется так, что она переходит в неравновесное состояние с энтропией S.

Будем считать, что изменение состояния системы можно характеризовать изменением некоторого внутреннего параметра x, значение которого зависит от состояния всей системы.

В равновесии x = x0. Пример x – плотность ρ газа, находящегося в замкнутом теплоизолированном сосуде. В состоянии равновесия плотность постоянна по всему объему сосуда x00=const.

В результате флуктуации система может самопроизвольно перейти в неравновесное состояние с переменной плотностью x= ρ(r).

Рекомендуемые материалы

Распределение Ферми-Дирака
Полый стеклянный цилиндр равномерно заряжен с объемной плотностью ρ=0,1 мКл/м3. Внешний радиус цилиндра равен 2 см, внутренний 0,75 см. Используя теорему Остроградского-Гаусса, найдите зависимость модуля вектора напряженности Е и электрического смещ
FREE
Плотность смеси азота и водорода при температуре t= 47ºС и давлении P = 2105 Па равна ρ = 0,3 г/л. Найти концентрации молекул азота (n1) и водорода ( n2) в смеси.
Подпорная стенка прямоугольной формы имеет высоту Н = 3,2 м, ширину b = 1,1 м, плотность кладки ρкл = 2100 кг/м3. Глубина воды перед стенкой h = 2,7 м, плотность воды ρв = 1000 кг/м3; ускорения свободного падения g = 9,81 м/с2. Требуется определить:
Необходимо опытным путем определить распределение температур в длинном стальном вале диаметром d, мм через τ, час после загрузки его в печь. Коэффициент теплоотдачи к валу в печи α, Вт/(м2·К). Исследование решено проводить в небольшой печи на геоме
При распаде радиоактивного полония 210Po в течение времени t= 1ч образовался гелий 4He, который при нормальных условиях занял объем V=89,5 см3. Определить период полураспада T1/2 полония.

Энтропия системы будет некоторой функцией параметра x: S=S(x). При этом в состоянии равновесия S0=S(x0) .

Вероятность застать систему в интервале значений x; x+dx должна быть пропорциональна статистическому весу (числу микросостояний) и величине интервала dx:

.

Для изолированной системы верна формула Больцмана

Константа определяется из условия нормировки:

Или для функции распределения:

                                       (*)

Прежде, чем приступить к интегрированию этой функции, надо ответить на вопрос о пределах ее применимости. Все распределения, приведенные выше, неявно подразумевают классичность поведения x. Поэтому надо найти условие, допускающее пренебрежение квантовыми эффектами.

Как известно из квантовой механики, между квантовыми неопределенностями энергии и какой-либо величины x имеет место соотношение

где dx/dt – классическая скорость изменения величины x.

Пусть τ – время, характеризующее скорость изменения нашей величины x, которая имеет неравновесное значение. Тогда

Ясно, что говорить об определенном значении величины x можно лишь при условии малости ее квантовой неопределенности

Таким образом, квантовая неопределенность энергии должно быть велика по сравнению  с . Энтропия системы будет при этом иметь неопределенность

Для того, чтобы формула (*) имела реальный смысл, необходимо, очевидно, чтобы кавнтовая неточность энтропии была мала по сравнению с k:

;

Это и есть искомое условие. При слишком низких температурах или при слишком быстром изменении x (слишком малом τ) флуктуации нельзя рассматривать термодинамически, т.к. на первый план выступают чисто квантовые флуктуации.

Выберем x так, что энтропия имеет максимум при x = x0 = 0. Поэтому

,

Величина x при флуктуациях очень мала. Разлагая S(x) в ряд по степеням x и ограничиваясь членом второго порядка, получим

где β>0. Тогда получим распределение вероятностей в виде:

Нормирование константы A определяется условием

Хотя выражение для f(x) относится к малым x, но ввиду быстрого убывания подынтегральной функции с увеличением |x| область интегрирования можно распространить на все значения от -∞ до +∞. Произведя интегрирование, получим

  (интеграл Пуассона).

Таким образом, имеем для величины x распределение:

.

Эта формула называется распределение Гаусса. Если обозначить

,

то, беря интеграл, распределение можно записать в виде:

.

Функция f(x) имеет тем более острый максимум, чем меньше <x2>.

Вам также может быть полезна лекция "15 Правление Юстиниана".

Отметим, что по известному <x2> можно найти аналогичную величину для любой функции j(x). Ввиду малости x имеем:

<(Dj)2> =

(подразумевается, что функция j(x) мало меняется при значениях x ~ <x2> и что производная dj/dx отлична от нуля при  x = 0).

Если , то распределение Гаусса запишется в виде:

 .

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5140
Авторов
на СтудИзбе
441
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее