Динамика системы

Лекция 5

Краткое содержание:  Внутренние и внешние силы.  Центр масс. Моменты инерции относительно точки и осей. Теорема Штейнера.

Введение в динамику системы

Механической системой называется любая система материальных точек и тел.

Внешними силами механической системы называются силы, с которыми на точки и тела механической системы действуют точки и тела не входящие в рассматриваемую систему.

Равнодействующая всех внешних сил приложенных к точке обозначается   (от латинского  exterior - внешний).

Внутренними силами механической системы называются силы взаимодействия между точками и телами рассматриваемой системы.

Равнодействующая всех внутренних сил приложенных к точке обозначается    (от латинского  interior - внутренний).

Рекомендуемые материалы

Это разделение является условным и зависит от того, какая механическая система рассматривается.

Внутренние силы системы обладают следующими свойствами:

Теорема.  Главный вектор всех внутренних сил системы (векторная сумма) равен нулю при любом состоянии системы.  .

Доказательство: Согласно одной из аксиом динамики, любые две точки системы действуют друг на друга с равными по величине, но противоположно направленными силами. Векторная сумма этих сил равна нулю. Все внутренние силы являются большим количеством таких парных сил. Поэтому сумма всех внутренних сил равна нулю.

Теорема.  Главный момент всех внутренних сил системы (векторная сумма) относительно любой точки или оси равен нулю при любом состоянии системы.      или   .

Доказательство: Любые две точки системы действуют друг на друга с равными по величине, но противоположно направленными силами. Сумма моментов этих сил относительно любой точки или оси равна нулю. Все внутренние силы являются большим количеством таких парных сил. Поэтому сумма моментов всех внутренних сил относительно любой точки или оси равна нулю.

Дифференциальные уравнения системы в векторной форме:

,   

Геометрия масс

Рассмотрим механическую систему, которая состоит из конечного числа    материальных точек с массами  , а положение точек в пространстве задается радиус-векторами  , то

Центром масс  механической системы называется геометрическая точка С, радиус-вектор которой    определяется выражением

где        - масса системы.

Если механическая система представляет собой сплошное тело, то его разбивают на элементарные частицы с бесконечно малыми массами  . Суммы в пределе переходят в интегралы и центр масс определяется выражением  

Центр масс является не материальной точкой, а геометрической. Центр масс характеризует распределение масс в системе.

Координаты центра масс имеют вид:

             

            

            

Для тел типа тонкого листа (поверхность) и тонкой проволоки (линия)   и  ,  где     - поверхностная и линейная плотности соответственно. Интегралы вычисляются по поверхности и линии.

Моменты инерции

Для характеристики распределения масс в телах при рассмотрении вращательных движений требуется ввести понятия моментов инерции.

Момент инерции относительно точки

Скалярная величина

          или    

называется полярным моментом инерции относительно точки О. d – расстояние от текущей точки до точки  О.

Момент инерции относительно оси

Скалярная величина                                 или    

называется моментом инерции относительно оси  l.   r – расстояние от точки до оси.

Моменты инерции одинаковых по форме однородных тел, изготовленных из разных материалов, отличаются друг от друга.  Характеристикой, не зависящей от массы материала, является радиус инерции.

Величина    называется радиусом инерции.

Момент инерции относительно оси через радиус инерции относительно этой же оси определяется выражением              .

Моменты инерции относительно осей  координат

         

         

        

 

Центробежные моменты инерции

             

              

              

Установим зависимость между моментами инерции относительно параллельных осей, одна из которых проходит через центр масс.

Теорема о моментах инерции относительно параллельных осей.  (Теорема Штейнера)

Момент инерции системы относительно какой-либо оси равен моменту инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, плюс произведение массы системы на квадрат расстояния между этими осями.

Доказательство:  Пусть имеется две декартовы системы координат  и  , оси которых параллельны. Начало системы   находится в центре масс системы. Докажем теорему для осей    и  .

       

Координаты связаны между собой соотношениями:

,               ,             

,                       ,                       .

Следовательно  , что и требовалось доказать.

Главными осями инерции называются оси, в которых центробежные моменты инерции равны нулю.

Моменты инерции тела относительно главных осей инерции называются главными моментами инерции тела.

Лекция "Дайте аксиоматическое (по Колмогорову) определение вероятности" также может быть Вам полезна.

Тензор инерции и тензор инерции для главных осей:

             

Моменты инерции простейших тел

1.  Однородный стержень

2.  Прямоугольная пластина

3.  Однородный круглый диск