Общие теоремы динамики системы и твердого тела

Лекция 6

Краткое содержание:  Общие теоремы динамики системы и твердого тела: Количество движения системы.  Теорема об изменении количества движения системы.  Законы сохранения количества движения.  Теорема о движении центра масс.  Момент количества движения твердого тела относительно оси вращения при вращательном движении твердого тела.  Момент количества движения системы. Теорема об изменении момента количества движения системы.  Законы сохранения момента количества движения.  Кинетическая энергия системы.  Кинетическая энергия твердого тела.  Теорема об изменении кинетической энергии системы. 

Общие теоремы динамики системы и твердого тела

Количество движения системы.

Количеством движения системы материальных точек  называется векторная сумма количеств движений отдельных точек системы.

Единицей измерения количества движения в СИ является –  

Количество движения системы можно выразить через массу системы и скорость центра масс.           

Рекомендуемые материалы

Теорема об изменении количества движения системы.

Эта теорема существует в трех различных формах.

Теорема.  Производная по времени от количества движения системы равна векторной сумме всех внешних сил, действующих на систему.

                                    ,                                          (6.1)

Доказательство:   Теорема об изменении количества движения для  точки  имеет вид:

,     

Сложим все    уравнений и получим:

                                   ,

что и требовалось доказать.

В проекциях на оси координат это утверждение выглядит так:

,     ,     .

Теорема. (в дифференциальной форме).  Дифференциал от количества движения системы равен сумме элементарных импульсов всех внешних сил, действующих на систему.

Умножим левую и правую части уравнения (6.1) на  и получим

                       ,                                                            (6.2)

В проекциях на оси координат это утверждение выглядит так:

,       ,       .

Теорема (в интегральной форме).  Изменение  количества движения системы за какой-либо промежуток времени равно векторной сумме элементарных импульсов всех внешних сил, действующих на систему за этот же промежуток времени.

Интегрируя обе части уравнения (**) по времени в пределах от нуля до    получаем:

В проекциях на оси координат это утверждение выглядит так:

,      ,       .

Законы сохранения количества движения.

1. Если главный вектор всех внешних сил системы равен нулю (), то количество движения системы постоянно по величине и направлению.

2. Если проекция главного вектора всех внешних сил системы на какую-либо ось равна нулю (), то проекция количества движения системы на эту ось является постоянной  величиной.

Теорема о движении центра масс.

Теорема   Центр масс системы движется так же, как и материальная точка, масса которой равна массе всей системы, если на точку действуют все внешние силы, приложенные к рассматриваемой механической системе.

       , следовательно  

Момент количества движения системы.

Моментом количества движения системы материальных точек  относительно некоторого центра  называется векторная сумма моментов количества движения отдельных точек этой системы относительно того же центра    

Моментом количества движения системы материальных точек  относительно  какой-либо оси  , проходящей через центр ,  называется проекция вектора количества движения  на эту ось   .

Момент количества движения твердого тела относительно оси вращения при вращательном движении твердого тела.

Вычислим момент количества движения твердого тела относительно оси вращения.

Момент количества движения твердого тела относительно оси вращения при вращательном движении равен произведению угловой скорости тела на его момент инерции относительно оси вращения.           

Теорема об изменении момента количества движения системы.

Теорема.  Производная по времени от момента количества движения системы, взятого относительно какого-нибудь центра, равна векторной сумме моментов внешних сил,  действующих на систему относительно того же центра.

                                                                                     (6.3)

Доказательство:   Теорема об изменении момента количества движения для  точки  имеет вид:

,    

Сложим все    уравнений и получим:

              или        ,

что и требовалось доказать.

Теорема.  Производная по времени от момента количества движения системы, взятого относительно какой-либо оси, равна векторной сумме моментов внешних сил,  действующих на систему относительно той же оси.

Для доказательства достаточно спроектировать векторное уравнение (6.3)  на эту ось. Для оси  это будет выглядеть так:.

                                                                                      (6.4)

Теорема об изменении момента количества движения системы относительно центра масс.  (без доказательства)

Для осей движущихся поступательно вместе с центром масс системы, теорема об изменении момента количества движения системы относительно центра масс сохраняет тот же вид, что и относительно неподвижного центра.

Законы сохранения момента количества движения.

1. Если главный момент внешних сил системы относительно точки  равен нулю (), то момент количества движения системы относительно точки  постоянен по величине и направлению.

2. Если сумма моментов всех внешних сил системы относительно какой-либо оси равна нулю (), то момент количества движения системы относительно  этой оси является постоянной  величиной.

Кинетическая энергия системы.

Кинетической энергией системы называют сумму кинетических энергий всех точек системы.

Теорема Кенига.  Кинетическая энергия системы в абсолютном движении складывается из кинетической энергии центра масс, если в нем сосредоточить всю массу системы, и кинетической энергии системы при ее движении относительно центра масс. 

Доказательство:   Рассмотрим движение механической системы относительно двух систем координат. Одна система неподвижна, другая, с началом в центре масс системы, перемещается относительно первой поступательно.

,    -  радиус-вектор и абсолютная скорость точки соответственно;

,    -  радиус-вектор и абсолютная скорость центра масс системы соответственно;

,    -  радиус-вектор точки относительно центра масс и относительная скорость этой точки соответственно.

,      (так как переносное движение поступательное)

Так как ,  то

    или   

Кинетическая энергия твердого тела.

1. Поступательное движение тела.

Кинетическая энергия твердого тела при поступательном движении вычисляется так же, как и для одной точки, у которой масса равна массе этого тела.

,    -  скорость любой точки твердого тела

2. Вращение тела вокруг неподвижной оси.

Кинетическая энергия твердого тела при вращательном движении вокруг неподвижной оси равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат угловой скорости тела.

,    -  угловая скорость вращения твердого тела.

3. Плоское движение тела.

Кинетическая энергия твердого тела при плоском движении складывается из кинетической энергии тела вместе с центром масс и кинетической энергии тела от вращения вокруг оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной плоскости движения..

,    -  скорость центра масс твердого тела,   -  угловая скорость вращения твердого тела.

Теорема об изменении кинетической энергии системы.

Эта теорема существует в двух формах.

Теорема.  Дифференциал кинетической энергии системы равен сумме элементарных работ всех внешних и внутренних сил, действующих на систему.

Доказательство:   Теорема об изменении кинетической энергии для  точки  имеет вид:

,    

Сложим все    уравнений и получим:

Рекомендуем посмотреть лекцию "1.3 Задание вероятностных мер на измеримых пространствах".

или   

или   

что и требовалось доказать.

Теорема.  Изменение  кинетической энергии системы при ее перемещении из одного положения в другое равно сумме работ всех внешних и внутренних сил, действующих на систему, на соответствующих перемещениях точек системы при том же перемещении системы..