Дисперсионный анализ для связанных выборок

Вопрос 4

Дисперсионный анализ для связанных выборок

Назначение метода

Метод дисперсионного анализа для связанных выборок применяется в тех случаях, когда исследуется влияние разных градаций фактора или разных условий на одну и ту же выборку испытуемых.

Градаций фактора должно быть не менее трех.

Непараметрический вариант этого вида анализа - критерий Фридмана χ²_r.

Описание метода

Рекомендуемые материалы

В данном случае различия между испытуемыми - возможный са­мостоятельный источник различий. В схеме однофакторного анализа для несвязанных выборок различия между условиями в то же время отра­жали различия между испытуемыми. Теперь различия между условиями могут проявиться только вопреки различиям между испытуемыми.

Фактор индивидуальных различий может оказаться более значи­мым, чем фактор изменения экспериментальных условий. Поэтому нам необходимо учитывать еще одну величину - сумму квадратов сумм ин­дивидуальных значений испытуемых.

Графическое представление метода

На Рис. 7.3 представлена кривая изменения времени решения анаграмм разной длины: четырехбуквенной, пятибуквенной и шестибуквенной. Однофакторный дисперсионный анализ для связанных выборок позволит определить, что перевешивает - тенденция, выраженная этой кривой, или индивидуальные различия, диапазон которых представлен на графике в виде вертикальных линий — от минимального до макси­мального значения.

Рис. 7.3. Изменение времени работы над разными анаграммами у тати испытуемых; вертикальными линиями отображены диапазоны изменчивости признака е разных усло­виях от минимального значения (снизу) до максимального значения (сверху)

Ограничения метода дисперсионного анализа для связанных выборок

1. Дисперсионный анализ для связанных выборок требует не менее трех градаций фактора и не менее двух испытуемых, подвергшихся воздействию каждой из градаций фактора.

2. Должно соблюдаться правило равенства дисперсий в каждой ячейке комплекса. Это условие косвенно выполняется за счет одинакового количества наблюдений в каждой ячейке комплекса. Предлагаемая схема расчета ориентирована только на такие равномерные комплексы.

3. Результативный признак должен быть нормально распределен в ис­следуемой выборке.

В приводимом ниже примере показатели асимметрии и эксцесса составляют:

А=218

т_А=0,632;

t_A =2,18/0,632=3,45;

E=4,17;

M_E =l,264;

t_E =4,17/1,264=3,30.

Таким образом, распределение показателей 5-тй- человек, состав­ляющих дисперсионный комплекс, несколько отличается от нормального: t_A>3; t_E>3. Однако в целом по выборке распределение нормальное:

n=22;

A=1,26;

т_А=0,522

 t_A=2,41<3;

E=2,29;

m_E=1,044;

t_E=2,19<3.

По-видимому, необходимо удовлетвориться тем, что в выборке в целом результативный признак распределен нормально. Случайно ото­бранные 5 человек распределением своих оценок демонстрируют неко­торое отклонение. Однако, если бы мы выбирали испытуемых таким образом, чтобы распределение их оценок подчинялось нормальному закону, это нарушило бы правило рандомизации - случайности отбора объектов без учета значений результативного признака при отборе (Плохинский Н.А. 1970).

Данные этого примера нам уже знакомы. Они использовались для иллюстрации непараметрического критерия Фридмана χ²_r. Исполь­зование здесь этого же примера позволит нам сопоставить результаты, получаемые с помощью непараметрических и параметрических методов.

Пример

Группа из 5 испытуемых была обследована с помощью трех экс­периментальных заданий, направленных на изучение интеллектуальной настойчивости (Сидоренко Е. В., 1984). Каждому испытуемому инди­видуально предъявлялись последовательно три одинаковые анаграммы: четырехбуквенная, пятибуквенная и шестибуквенная. Можно ли счи­тать, что фактор длины анаграммы влияет на длительность попыток ее решения?

Сформулируем гипотезы.

Наборов гипотез в данном случае два.

Набор А.

Но(А): Различия в длительности попыток решения анаграмм разной длины являются не более выраженными, чем различия, обуслов­ленные случайными причинами.

Н₁(А): Различия в длительности попыток решения анаграмм разной длины являются более выраженными, чем различия, обусловлен­ные случайными причинами. Набор Б.

Но(Б): Индивидуальные различия между испытуемыми являются не более выраженными, чем различия, обусловленные случайными причинами.

Н₁(Б):  Индивидуальные различия между испытуемыми являются более выраженными, чем различия, обусловленные случайными причи­нами.

Таблица 7.5

Длительность попыток решения анаграмм (сек)

Установим все промежуточные величины, необходимые для расче­та критерия F.

Таблица 7.6

Расчет промежуточных величин для критерия F в примере об анаграммах

Мы по-прежнему помним разницу между квадратом суммы и суммой квадратов!

Последовательность расчетов приведена в Табл. 7.7.

Таблица 7.7.

Последовательность операций в однофакторной модели дисперсионного анализа для связанных выборок

Примечание: (См.Приложение 2).

Вывод:

Но(А) отклоняется. Различия в объеме воспроизведения слов в разных условиях являются более выраженными, чем различия, обусловленные случайными причинами (р<0,05).

Но(Б) принимается: Индивидуальные различия между испытуе­мыми являются не более выраженными, чем различия, обусловленные случайными причинами.

            Однако, судя по Рис. 7.3, мы не можем утверждать, что сраба­тывает фактор длины анаграммы. Более значимыми оказываются каче­ственные, а не количественные различия между анаграммами. Как мы уже имели возможность убедиться (см. параграфы 3.4 и 3.5), непара­метрический L - критерий Пейджа подтверждает тенденцию увеличения индивидуальных показателей при переходе от анаграммы КРУА к анаграмме ИНААМШ, а затем к анаграмме АЛСТЬ (р<0,01). Зна­чимые различия были получены и с помощью критерия Фридмана χ²_r

(р=0,0085).

Итак, непараметрические критерии позволяют нам констатировать более высокий уровень значимости различий между условиями!

Зачем же тогда использовать достаточно сложный дисперсион­ный анализ? Для того, чтобы подобрать существенные факторы, кото­рые могут стать основой для формирования двух-, трех- и более фак­торных дисперсионных комплексов, позволяющих оценить не только влияние каждого из факторов в отдельности, но и их взаимодействие.

Приложение 1

Таблица 7.4.

Последовательность операций в однофакторном дисперсионном анализе для несвязанных выборок

Приложение 2

Таблица 7.7.

Последовательность операций в однофакторном дисперсионном анализе для связанных выборок