Двухфакторный дисперсионный анализ для связанных выборок

Вопрос 3

Двухфакторный дисперсионный анализ для связанных выборок

Назначение метода

Данный вариант двухфакторного дисперсионного анализа приме­няется в тех случаях, когда исследуется действие двух факторов на од­ну и ту же выборку испытуемых.

Описание метода

Допустим, мы измерили одни и те же показатели у одних и тех же испытуемых несколько раз - в разное время, в разных условиях, с помощью параллельных форм методики и т. п., и нам необходимо про­вести множественное сравнение показателей, изменяющихся при пере­ходе от условия к условию. Критерий L Пейджа для анализа тенденций изменения признака и критерий χ²_r Фридмана неприменимы, так как необходимо определить тенденцию изменения признака под влиянием двух факторов одновременно. Это позволяет сделать только дисперси­онный анализ.

Фактически в данной модели дисперсионного двухфакторного анализа проверяются 4 гипотезы:

*о влиянии фактора А,

Рекомендуемые материалы

*о влиянии фак­тора В,

*о влиянии взаимодействия факторов А и В и

*о влиянии факто­ра индивидуальных различий.

В данном варианте дисперсионного анализа нам потребуются две рабочие таблицы, которые позволят рассчитывать сумму по разным комбинациям ячеек комплекса. Рассмотрим это на примере, являющемся продолжением примера из п. 3.3.

Пример

В выборке курсантов военного училища (юноши в возрасте от 18 до 20 лет) измерялась способность к удержанию физического волевого усилия на динамометре.

В первый день эксперимента у них, наряду с другими показателями, измерялась мышечная сила каждой из рук.

На второй день эксперимента им предлагалось выдерживать на динамометре мышечное усилие, равное 72 максимальной мышечной силы данной руки.

На третий день эксперимента испытуемым предлагалось проделать то же самое в парном соревновании на глазах у всей группы.

Пары соревную­щихся были подобраны таким образом, чтобы сила обеих рук у них примерно совпадала. Результаты экспериментов представлены в Табл. 83. Можно ли считать, что фактор соревнования в группе каким-то обра­зом влияет на продолжительность удержания усилия? Подтверждается ли предположение о том, что правая рука более "социальна"?

Таблица 5.5

Длительность удержания усилия (сек/10) на динамометре правой и левой руками в разных условиях измерения (n=4)

Заметим, что единицы измерения в Табл. 8.5 - это секунды, но в каждом случае количество секунд уменьшено в 10 раз. Это законный способ преобразования индивидуальных значений, направленный на об­легчение расчетов. Для того, чтобы не оперировать трехзначными чис­лами, мы можем разделить их на какую-либо константную величину или уменьшить их на какую-либо константную величину (подробнее см. вопрос2 в Теме 8.

Преобразуем таблицу индивидуальных значений в две рабочие таблицы двухфакторного дисперсионного комплекса для связанных вы­борок (Табл. 8.6 и 8.7). Мы видим, что здесь приведены суммы ин­дивидуальных значений отдельно по градациям фактора А (вне группы - в группе) и по градациям фактора В (правая рука - левая рука), по сочетаниям градаций A₁B₁, A₁В_2, A₂В_1, А₂В₂ , а также суммы всех ин­дивидуальных значений каждого испытуемого и общие суммы.

Таблица 8.6

Двухфакторный дисперсионный комплекс по оценке влияния

фактора А (вне группы - в группе) и фактора В (правая - левая рука) на дли­тельность удержания физического волевого усилия (сек/10) - вариант I

Таблица 8.7

Двухфакторный дисперсионный комплекс по оценке влияния

факторов А и В на длительность физического волевого усилия

(сек/10) - вариант II

Мы видим, что в Табл. 8.7 фактически только две ячейки ком­плекса поменялись местами: А₁В₂ и А₂В₁. Это позволяет нам с боль­шей легкостью подсчитать суммы по градациям В₁ и В_2.

Если бы мы пользовались только Табл. 8.6, то нам пришлось бы подсчитывать их "через столбец" и, кроме того, трудно было бы их куда-то подходящим образом записать. В дальнейшем при расчетах мы всякий раз будем указывать, к какой таблице лучше обратиться для извлечения нужных сумм, первой (I) или второй (II).

Установим некоторые величины, которые будут необходимы для расчета критериев F.

Таблица 8.8

Величины, необходимые для расчета критериев F в двухфакторном дисперсионном анализе для связанных выборок

Теперь при расчетах будем лишь подставлять уже подсчитанные значения тех или иных величин. В случае, если какой-то из шагов в алгоритме расчетов будет не вполне ясен, можно вернуться к Табл. 8.8 и восстановить процедуры расчетов, или к Табл. 8.6 и Табл. 8.7, для того, чтобы вспомнить, почему мы подставляем в формулу ту или иную конкретную величину.

*^1. На самом деле в эксперименте участвовало 20 человек. В дисперсионный ком­плекс случайным образом отобраны 4 из ник в целях упрощения расчетов. Резуль­таты дисперсионного анализа по такой "усеченной" выборке совпадают с данными обработки всей выборки с помощью критерия χ²_r.

Таблица 8.9

Последовательность операций в двухфакторном дисперсионном анализе для связанных выборок

Мы видим, что влияние факторов А и В, как каждого в отдель­ности, так и в их взаимодействии, незначимо. В то же время фактор индивидуальных различий между испытуемыми (F_И) оказался значимым (р<0,05). Мы видим из формы приведенного алгоритма, что этот ин­дивидуальный источник вариативности с самого начала учитывается практически как третий фактор вариативности признака. Критерий F для факторов А и В вычисляется как отношение вариативности между града­циями факторов к вариативности между испытуемыми в этих градациях.

На Рис. 8.3 индивидуальные изменения величин длительности физического волевого усилия представлены графически.

Рис. 8.3. Индивидуальные изменения длительности физического волевого усилия по четырем испытуемым

Как видно из Рис. 8.3, у одного испытуемого выше показатели по левой руке, у трех других - по правой. При измерении вне группы индивидуальные кривые ближе друг к другу, при измерениях в группе они расходятся. Можно было бы говорить об увеличении разброса инди­видуальных значений при измерении длительности физического волевого усилия в группе, в атмосфере соревнования. Однако, несмотря на название, дисперсионный анализ выявляет влияние фактора не на рассеивание инди­видуальных значений, а на среднюю их величину. Влияние же фактора на рассеивание признака можно уловить с помощью других критериев, в том числе непараметрических (Суходольский Г.В., 1972, с.341).

И все же представим полученный результат в принятой форме изменения средних значений по градациям факторов (Рис. 8.4).

Рис. 8.4. Изменения средних величин длительности физического волевого усилия при переходе от индивидуальных замеров к групповым (правая рука - сплошная линия, левая рука - пунктирная линия)

Если исследователя интересует в большей степени второй вопрос данной задачи, связанный с проверкой предположения о том, что правая рука более "социальна", то он может представить данные в иной груп­пировке (Рис. 8.5).

Рис. 8.5. Изменения средних величин длительности физического волевого усилия при переходе от правой руки к левой (сплошная линия - измерения вне группы, пунктирная линия - измерении в группе)

Мы видим, что во втором, групповом, замере снижаются показа­тели и по правой, и по левой руке, но все же правая рука "держится" почти на уровне первого замера, в то время как левая рука в большей степени "сдается" под влиянием усталости в группе, чем вне группы. Можно было бы подтвердить предположение о большей "социальности" правой руки, большая стабильность которой, возможно, отражает стремление поддержать "лицо" в ситуации соревнования в группе, но выявленные тенденции, как мы убедились, незначимы.

Ограничения двухфакторного дисперсионного анализа для связанных выборок

Все ограничения такие же, как и в модели для несвязанных вы­борок, с одним уточнением. Все испытуемые должны пройти все сочета­ния градаций двух факторов. Этим достигается равномерность комплекса.

Итак, мы убедились, что двухфакторный дисперсионный анализ действительно позволяет нам оценить влияние двух факторов в их взаимодействии. Мы показали, что влияние одного фактора может ока­заться различным при разных уровнях другого фактора, иногда различ­ным вплоть до противоположности. Так, в примере о влиянии скорости предъявления слов и их длины на объем воспроизведения мы убедились в том, что фактор скорости при предъявлении коротких слов повышает результаты, а при предъявлении длинных слов - снижает результаты испытуемых.

Дисперсионный анализ позволяет также доказать, что влияние индивидуальных различий может оказаться сильнее экспериментальных или иных факторов, как это было продемонстрировано в последнем из примеров.

Более сложные схемы дисперсионного анализа позволяют ана­лизировать совокупное действие трех, четырех и более факторов и по­лучить еще более глубокие результаты.

Приложение 1

Таблица 8.3

Величины, необходимые для расчёта критериев F в двухфакторном дисперсионном анализе для несвязанных выборок