Метод симмтричной последовательной верхней релаксации (SSOR)
3.6. Метод симмтричной последовательной верхней релаксации (SSOR)
Это двойное применение метода SOR в противоположных направлениях на каждой итерации. Вначале обычным методом SOR отыскивается промежуточное приближение
(3.28)
а затем оно корректируется в обратном порядке, т.е.
(3.29)
Такая комбинация методов SOR приводит к тому, что результирующая матрица итераций 
оказывается подобной симметричной матрице. В самом деле, методы (3.28) и (3.29) можно записать в матричном виде
откуда следует
Рекомендуемые материалы
поэтому
Вычислим
Окончательно
Если 
, то 
, кроме того 
, поэтому 
, а матрица шага метода SSOR симметрична: 
.
Известно, что сам по себе метод SSOR сходится не быстрее, чем обычный SOR при оптимальном выборе параметра релаксации 
, однако он обладает тремя привлекательными свойствами:
1. Из-за симметричности его матрица может быть использована в качестве предобуславливателя (preconditioner, оператор В) для других итерационных методов (у него хорошие свойства («похож на A » ) и он легко обратим).
2. Скорость сходимости SSOR меньше зависит от оптимальности выбора параметра .
3. Характер сходимости более плавный, нет скачков в поведении приближенных решений, значит он может использоваться в качестве сглаживателя в многосеточном методе.
Пример.
Ниже приводится текст программы решения модельной задачи Дирихле для уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами методом SSOR.
//... An iteration of Zeidel, SOR, SSOR .....................
Procedure ZS_iter;
var i:integer;
begin
For i:=1 to N-1 do
begin
A:=1; B:=1; C:=A+B; Fi:=F^[i]*h2;
yZeidel:=(A*y^[i-1] + B*y^[i+1] + Fi)/C;
if Method=Zeidel then y^[i]:=yZeidel else
y^[i]:=w*yZeidel + (1-w)*y^[i]; // SOR
end; //i
// SSOR
if Method=SSOR then
For i:=N-1 downto 1 do
begin
Информация в лекции "Значение и история изучения инфекционных болезней" поможет Вам.
A:=1; B:=1; C:=A+B; Fi:=f^[i]*h2;
yZeidel:=(A*y^[i-1] + B*y^[i+1] + Fi)/C;
y^[i]:=w*yZeidel + (1-w)*y^[i]; // SOR
end; //i
end; // ZS_iter
Задание. Составить программу SSOR для переменных коэффициентов, сравнить скорость сходимости с методом SOR и проверить чувствительность к оптимальному выбору параметра релаксации.
