Разрывы в газодинамических течениях.

Разрывы в газодинамических течениях.

                x (t) – некоторая поверхность разрыва.

Окружим её контуром – обход по часовой стрелке.

                                             D

                Значение функции f (t)    

 слева  от разрыва f₁(t) = f(x(t) – 0,t)

справа от разрыва f₂ (t) = f(x(t) + 0,t)

                Разрыв самой поверхности обозначим [ ]:   [f] = f₂ – f₁

                Тогда законы сохранения в формуле Эйлера по контуру:

Рекомендуемые материалы

                               закон сохранения массы:                       (1*)

                               закон сохранения импульса:       

                               закон сохранения энергии:           

                Устремляем контур к поверхности разрыва (dx мало, ®0):

Þ     из (1):     

                Аналогичным образом из закона сохранения импульса и закона сохранения энергии получаем ещё два уравнения:

(1*) ®                                                          (1)

ЗСИ:                                                        (2)

ЗСЭ:                  (3) – условия совместности Гюгонио.

                Это основные формулы для исследования поверхностей разрыва в одномерной газовой динамике. Так как сама скорость не является разрывной величиной, то мы можем ввести её под знак разрыва:   D[f] = [D×f]

                Перепишем  с помощью этого условия Гюгонио:

1.

2.

3.

Для стационарного течения D = 0 (ударная волна покоится). Можно перейти в систему координат,

связанную с поверхностью разрыва U –D = u

1. r₂(U₂ – D) = r₁(U₁ – D)×m – масса газа в единицу времени через единицу сечения (расход газа)

                  u₂                  u₁

При переходе через поверхность разрыва сохраняется расход.

2. р₂ + r₂(U₂ – D)² = p₁ + r₁(U₂ – D)² = j.

3.

Какие разрывы могут удовлетворять этим уравнениям.

m = 0  - контактная поверхность разрыва КР.

КР движется вместе с частицей.

Т.к.      r₁ ¹ 0 ,  то      U₂ – D = 0

                                                                           r₂ ¹ 0              U₁ – D  = 0

        ß

Частицы газа движутся вместе с поверхностью  Þ  с двух сторон поверхности U₂ = U₁.

Þ В уравнении импульсов равны 0 вторые члены, т.е. получается, что р₂ = р₁.

                На такой поверхности может терпеть разрыв r, e, h, S – параметры, характеризующие сам газ. Т.е. это поверхность разрыва фактически, между двумя газами. Они не перемешиваются и остаются по разные стороны поверхности.

m ¹ 0 – есть перетекание через поверхности разрыва.

Если m > 0, – поверхность разрыва движется по ходу газа.

Если  m < 0, – против хода газа (не существует).

                 m > 0:

                                               p₂ + m (U₂ – D) = p₁ + m (U₁ – D) – уравнение сохранения с использованием уравнения сохранения массы.

                V – удельный объем.

                               p₂ + V₂m² = p₁ + V₁m²

                Þ на этой поверхности разрыва возможны два условия:

                               ударная волна, или скачок уплотнения      

p₂ < p₁,  V₁ < V₂,   r₂ < r₁ – скачок разряжения.

                Введем понятие энтальпии: , тогда закон сохранения энергии переписывается так:

                Относительно поверхности разрыва, газ движется в одну сторону. Отношение скоростей – через термодинамические параметры:

                                                                        (2)

Если Вам понравилась эта лекция, то понравится и эта - 21 Идеалы просвещения и их отражение в искусстве.

Индексы 1, 2  должны совпадать до ударной волны, после ударной волны. Если мы подставим (2) в (Ñ), то получим адиабату Гюгонио:

  h₂ > h₁,  e₂> e₁ – для скачков уплотнения.

Для скачков разрыва: h₂ < h₁,  e₂ < e₁

Построим адиабату Пуассона и Гюгонио для совершенного политропного газа:

АДИАБАТА ГЮГОНИО:

                    или    ,    где k =