Динамика жидкости

Выберем произвольно на рассматриваемом участке струйки два сечения: сечение 1-1 и сечение 2-2. Вверх по трубопроводу от первого сечения ко второму движется жидкость, расход которой равен Q.

Для измерения давления жидкости применяют пьезометры - тонкостенные стеклянные трубки, в которых жидкость поднимается на высоту p/ρg.

Рис 4

Рис. 2.4

Кроме пьезометров в каждом сечении 1-1 и 2-2 установлена трубка, загнутый конец которой направлен навстречу потоку жидкости, которая называется трубка Пито. Жидкость в трубках Пито также поднимается на разные уровни, если отсчитывать их от пьезометрической линии. Однако высота уровней в трубках Пито относительно произвольной горизонтальной прямой 0-0, называемой плоскостью сравнения, будет одинакова. Если через показания уровней жидкости в трубках Пито провести линию, то она будет горизонтальна, и будет отражать уровень полной энергии трубопровода.

Для двух произвольных сечений 1-1 и 2-2 потока идеальной жидкости уравнение можно записать

Так как сечения 1-1 и 2-2 взяты произвольно, то полученное уравнение можно переписать иначе:

Полученное уравнение называется уравнением Бернулли.

Уравнение Даниила Бернулли, полученное в 1738 г., является фундаментальным уравнением гидродинамики. Уравнение Бернулли дает связь между давлением p, средней скоростью υ и пьезометрической высотой z в любой фиксированной точке элементарной струйки при установившемся движении жидкости и выражает закон сохранения энергии движущейся жидкости.

Таким образом, сумма трех членов уравнения Бернулли для любого сечения потока идеальной жидкости есть величина постоянная.

Для уяснения смысла отдельных членов, входящих в уравнение Бернулли, рассмотрим их с геометрической и энергетической точки зрения.

2.2.2. Геометрический смысл уравнения Бернулли

Пользуясь методом размерностей нетрудно показать, что все члены уравнения Бернулли имеют размерность длины:

z = [L];

где: T - символ времени; L - символ длины; F - символ силы.

Поэтому все члены уравнения Бернулли можно будет представить себе как высоты.

Условимся, отсчет высот производить от некоторой горизонтальной плоскости координат xOy , которую в дальнейшем будем называть плоскостью сравнения, а след пересечения ее с плоскостью чертежа, представляющий собой горизонтальную линию, обозначим через 0 – 0 (рис. 2.4).

Координата z измеряет высоту расположения частицы жидкости над плоскостью сравнения и называется высотой положения.

Второй член уравнения - представляет собой высоту столба жидкости, на которую может подняться уровень жидкости в открытой пьезометрической трубке 1, помещенной в данную точку элементарной струйки, под действием гидродинамического давления в этой точке. Поэтому член называют пьезометрической высотой или высотой давления.

Третий член уравнения - принято называть скоростной высотой или скоростным напором.

Такова геометрическая интерпретация отдельных членов, входящих в уравнение Бернулли.

Сумма высот положения и давления называется пьезометрическим напором, а линия p-p , соединяющая вершины пьезометрических напоров, называется пьезометрической линией.

Сумма пьезометрического и скоростного напоров, представляющая собой сумму трех членов уравнения Бернулли, называется полным напором H .

Геометрическое место вершин сумм трех высот: положения, давления и скоростной называется напорной линией N - N .

Для двух произвольно выбранных сечений элементарной струйки 1-1 и 2-2 эта сумма высот есть величина постоянная. Т.е. напорная линия N - N лежит в горизонтальной плоскости, параллельной плоскости сравнения О - О, на расстоянии H от нее.

Отсюда геометрический смысл уравнения Бернулли можно сформулировать следующим образом: для элементарной струйки идеальной жидкости сумма трех высот: геометрической, пьезометрической и скоростной (т.е. полный напор) не изменяется по длине струйки.

2.2.3. Энергетический смысл уравнения Бернулли

Напомним, что все члены уравнения Бернулли, выраженные в единицах длины, отнесены к единице веса движущейся жидкости.

Использовав метод размерностей, легко установить, что все эти члены могут быть выражены в единицах работы или энергии, отнесенных к единице веса жидкости.

Так

где: L - символ длины;

F - символ силы ( веса );

A - символ работы;

Э - символ энергии.

Энергия, отнесенная к единице веса, как известно, называется удельной энергией.

Таким образом, каждый из членов уравнения Бернулли представляет собой определенный вид удельной энергии движущейся жидкости.

Для выявления энергетического смысла уравнения Бернулли рассмотрим вначале некоторую часть элементарной струйки массой m и объемом W , обладающей скоростью u и испытывающей гидродинамическое давление p (рис. 2.5).

Если эта масса находится на высоте z от плоскости сравнения О - О, то потенциальная энергия массы струйки m, зависящая от положения, будет равна ее весу, умноженному на высоту поднятия, т.е. m.g.z , отсюда удельная потенциальная энергия положения будет равна:

Таким образом, первый член уравнения Бернулли – z с энергетической точки зрения представляет собой удельную энергию положения движущейся жидкости.

Так как масса струйки занимает объем W и испытывает давление p, то потенциальная энергия давления будет pW. Поскольку вес жидкости в объеме W можно выразить, как gW, то удельная потенциальная энергия давления определится соотношением:

Отсюда видно, что в энергетическом смысле член в уравнении Бернулли представляет собой вид удельной потенциальной энергии, обусловленной гидродинамическим давлением и называемой удельной энергией давления движущейся жидкости.

Сумма удельных энергий положения и давления называется удельной потенциальной энергией движущейся жидкости - e_п.

Третий член уравнения Бернулли выражает собой величину удельной кинетической энергии e_к движущейся жидкости.

Действительно, кинетическая энергия, которой обладает масса m движущаяся со скоростью u будет . Если же эту энергию отнести к единице веса (т.е. разделить на m.g), то легко получить, что

Отсюда видно, что сумма трех членов уравнения Бернулли представляет собой полную удельную энергию движущейся жидкости e , которая слагается из удельной энергии потенциальной энергии e_п (равной сумме удельной энергии положения и давления) и удельной кинетической энергии e_к , т.е.

Переписав это уравнение для двух частиц (1 и 2), находящихся в одной элементарной струйке, или для двух положений одной и той же частицы движущейся жидкости , мы заметим, что

(1 – 9)

Т.е. сумма удельной потенциальной и кинетической энергии по длине элементарной струйки остается постоянной. Т.е. уравнение Бернулли представляет собой частное выражение общего закона сохранения энергии. Резюмируя сказанное выше, энергетический смысл уравнения Бернулли можно кратко сформулировать следующим образом: при установившемся движении идеальной жидкости удельная энергия не изменяется по длине элементарной струйки.

2.2.4. Уравнение Бернулли для элементарной струйки реальной жидкости

При движении реальной жидкости следует учитывать ее вязкость, вследствие которой возникает сопротивление движению частиц (т.е. силы трения). На преодоление сил трения затрачивается часть энергии жидкости.

Поэтому удельная энергия жидкости в сечении элементарной струйки 2-2 (рис. 2.6) (e₂или H₂ будет меньше удельной энергии жидкости в сечении 1-1 (e₁ или H₁) на некоторую величину h¢, равную

. (1 – 10)

Рис 4

Рис. 2.6

Отсюда, с учетом выражения (1 – 9), получим уравнение Бернулли для элементарной струйки реальной жидкости в следующем виде:

, (1 – 11)

где h’- удельная энергия жидкости (или напор), затрачиваемая на преодоление гидравлических сопротивлений в пути между 1-ым и 2-ым сечением элементарной струйки. Как и все члены уравнения, член h’ имеет размерность длины.

Для струйки реальной жидкости сумма высот геометрической, пьезометрической и скоростной уже не остается постоянной, а убывает по длине струйки, что выражается отклонением напорной линии N – N’ от горизонтальной линии N - N . Величина отклонения представляет собой потерю напора или удельной энергии на соответствующем участке элементарной струйки.

2.2.5. Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости

Распространим уравнение Бернулли на поток жидкости при установившемся плавно изменяющемся движении.

Для двух различных сечений потока при установившемся плавно изменяющемся движении уравнение Бернулли примет следующий вид:

(3 – 3)

В уравнении (3 – 3):

z₁ – расстояние от произвольно выбранной точки в живом сечении w₁ до плоскости сравнения О - О;

p₁ – гидродинамическое давление, определенное в той же точке живого сечения потока;

g - удельный вес жидкости;

v₁ - средняя скорость в живом сечении w₁;

g - ускорение силы тяжести;

a₁- коэффициент неравномерности распределения скоростей в живом сечении w₁ ;

z₂, p₂, v₂, a₂ - те же величины, определенные в живом сечении w₂.

h_w - удельная энергия (потеря напора), затраченная на преодоление гидравлических сопротивлений в пути между первым к вторым сечением.

Из уравнения Бернулли для потока реальной жидкости следует, что удельная энергия уменьшается по длине потока в направлении движения, так как часть энергии затрачивается на преодоление гидравлических сопротивлений в пределах данного участка потока.

2.2.6. Гидравлический уклон

Гидравлический уклон есть потеря энергии потока (напора) на единицу длины потока.

Если полная потеря напора на длине L равна h_w, то средняя потеря энергии (напора) - средний гидравлический уклон (градиент) - равен:

Виды гидравлических уклонов

а) При неравномерном напорном движении.

Из уравнения Бернулли для двух сечений потока реальной жидкости имеем:

Тогда гидравлический уклон будет равен:

Такой гидравлический уклон называется полным гидравлическим уклоном I_d.

б) При неравномерном безнапорном движении.

При неравномерном безнапорном движении жидкости (в открытых руслах) на свободной поверхности везде имеет место атмосферное давление.

Поэтому P₁ = P₂ = P_ат и выражение для среднего гидравлического уклона получит вид:

в) При равномерном напорном движении.

При равномерном напорном движении жидкости (в цилиндрических трубах) v₁ = v₂, получим следующее выражение для уклона (при a₁@ a₂):

Этот уклон, зависящий только от падения пьезометрического напора вдоль потока, называется пьезометрическим уклоном.

В случае напорного движения в горизонтальной трубе (z₁ = z₂), пьезометрический уклон равен:

Люди также интересуются этой лекцией: ЗИММЕЛЬ Георг.

г) При равномерном безнапорном движении.

При равномерном безнапорном движении жидкости (в открытых руслах, призматический канал) v₁=v₂, p₁=p₂ (рис 2.7) получим следующее выражение для уклона

Т.е. гидравлический уклон, зависящий только от падения дна (или свободной поверхности) потока на единицу длины, равен геометрическому уклону.

Рис 2

Рис. 2.7

Поделитесь ссылкой:

Популярные услуги

Динамика жидкости

Рекомендуемые материалы

Рекомендуемые лекции