Формула Тейлора
Формула Тейлора
Теорема 2.7. Если функция есть функция класса для некоторого открытого множества , то для любой точки найдется такая ее окрестность (содержащаяся в ), что приращение функции в этой окрестности представимо в виде:
(1)
Перед доказательством теоремы заметим следующее. Формула (1) называется формулой Тейлора для числовой функции векторного аргумента. Она вполне аналогична формуле Тейлора из одномерного анализа. При она дает обычную форму приращения дифференцируемой в точке функции:
(см. формулу (3) п. 2.5).
При имеем:
(2)
Эта формула (2) особенно важна при исследовании функций на экстремум.
Рекомендуемые материалы
Переходим к доказательству теоремы. Мы проведем его в два этапа: сначала мы дадим новый вывод формулы Тейлора в одномерном случае и получим эту формулу с остаточным членом в интегральной форме. Затем мы сведем вывод в векторном случае к полученному одномерному результату. Мы не сможем вполне строго и подробно доказать оценку остаточного члена в общем случае, так как для этого требуется более подробное рассмотрение высших производных.
Доказательство теоремы 2.7. 1) Вывод одномерной формулы Тейлора с остаточным членом в интегральной форме. В предположении, что функция дифференцируема на отрезке преобразуем интеграл
,
используя интегрирование по частям при :
(3)
Пусть функция дифференцируема на отрезке раз, причем -ая производная функции непрерывна на . Тогда, используя формулу (3), вычислим:
Итак, полагая и обозначая через последний интеграл в написанной выше цепочке выкладок, получим
(4) Это и есть искомый вид одномерной формулы Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.
Для оценки остаточного члена воспользуемся обобщенной теоремой об оценке (это возможно ввиду непрерывности -ой производной!):
,
где - наименьшее (наибольшее) значение непрерывной функции на отрезке .
Но очевидно, что . Следовательно,
Это значит, что модуль остаточного члена имеет порядок , или . Таким образом, мы пришли к остаточному члену в форме Пеано.
Применяя же к интегралу обобщенную теорему о среднем, будем иметь:,
где ( - точка интервала ). Последнее выражение представляет собой, как известно, остаточный член в форме Коши.
Итак, для достаточно гладкой функции замена ее приращения суммой в (4) с отбрасыванием остаточного члена дает ошибку, которая есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с приращением аргумента, возведенного в «степень гладкости» функции.
2) Вывод формулы Тейлора для числовой функции векторного аргумента.
Фиксировав точку и вектор , рассмотрим приращение функции в окрестности точки в виде:
, где .
Поскольку и фиксированы, мы можем считать это приращение функцией вещественного аргумента . Обозначим и применим к функции только что выведенную формулу Тейлора (4), в которой :
, (5)
где .
Конечно, еще нужно вычислить производные функции , обосновав тем самым их существование. Прежде всего, заметим, что эта функция есть сложная функция вещественного переменного , так как она ( зависит от не непосредственно, а через вектор (геометрически любой такой вектор можно представить очень наглядно - это вектор, конец которого лежит на отрезке, соединяющем точки и (см. рис. 2.14).
a x a+h
Рис. 2.14
Тогда
т.е. первая производная функции равна первому дифференциалу функции в текущей точке .
Совершенно аналогично
Индукцией по легко доказать формулу:
Так как по условию , то функция имеет на отрезке все производные до -ой включительно, и последняя производная непрерывна на отрезке. Таким образом, разложение (5) корректно.
Кроме того, очевидно, что
Следовательно, поскольку , а , мы получаем:
, (6)
где .
В силу непрерывности -ого дифференциала остаточный член можно оценить, используя обобщенную теорему о среднем:
, (7)
где .
Модули первых двух дифференциалов оценить легко:
,
(при оценке второго дифференциала мы использовали неравенство Коши-Буняковского!).
Можно доказать (это доказательство не приводится), что и в общем случае имеет место оценка:
(интуитивно это понятно из записи степенной формы для дифференциала высшего порядка - см. п. 2.10).
Рекомендуем посмотреть лекцию "11.1 Казахстан в годы Великой Отечественной войны".
Итак, для остаточного члена (7) можно записать
,
а формулу (6) - переписать в виде:
Мы получили формулу (1) и тем самым полностью доказали теорему 2.7.