Популярные услуги

Главная » Лекции » Математика » Уравнения математической физики » Уравнения 1-го порядка в случае n независимых переменных

Уравнения 1-го порядка в случае n независимых переменных

2021-03-09СтудИзба

Уравнения 1-го порядка в случае n независимых переменных

Производная по направлению. Характеристическая альтернатива

В данном разделе будем рассматривать квазилинейные уравнения 1-го порядка вида

                                 (1)

где, коэффициенты ai и a зависят от независимых переменных и искомой функции v.

, .

Пусть в n-мерном пространстве x1,x2,…,xn задана функция v(x1,x2,…,xn) непрерывная и дифференцируемая по всем своим переменным.

Пусть в точке P(x10,x20,…,xn0) этого пространства задан некоторый вектор . Рассмотрим в этой точке бесконечно малый вектор приращений координат (dx1,dx2,…,dxn) коллинеарный вектору . Из условий коллинеарности можем записать

,

Рекомендуемые материалы

откуда получаем дифференциальные уравнения

; ; …;                                 (2)

Интегрируя эти уравнения от точки Р

получим уравнение прямой в n-мерном пространстве, проходящей через точку Р и коллинеарной вектору . На этой прямой функция v примет значение . Дифференцируя функцию v по S вычислим скорость изменения функции v в точке P

, из (2) получим

   (3)  - производная функции v по направлению вектора .

С помощью этой производной перепишем (1):   (4).

Уравнения (2) и (4) образуют дифференциальные уравнения характеристик уравнения (1).

Рассмотрим в n-мерном пространстве некоторое (n-1)-мерное многообразие В, которое будем записывать в неявном виде:

      (5)                - уравнение гиперповерхности.

x1,x2 Þ φ(x1,x2)=0 Þ x1=f(x2) – кривая.

x1,x2,x3 Þ φ(x1,x2,x3)=0 Þ x1=f(x2,x3) – поверхность.

Рассмотрим на гиперповерхности (5) точку Р и бесконечно малый вектор (dx1,dx2,…,dxn) касательный к гиперповерхности в этой точке. Дифференцируя φ вдоль этого вектора, получим:  , или ,

откуда следует ортогональность этих векторов.

Так как вектор (dx1,dx2,…,dxn) произвольный касательный вектор в точке Р, то отсюда следует, что вектор  является вектором нормали к гиперповерхности.

Пусть компоненты вектора , входящие в производную по направлению вектора , можно записать в виде: , тогда производная  называется производной по направлению нормали к гиперповерхности в точке Р и ее можно записать в виде: .

Пусть теперь в точке Р  (в этом случае вектор  лежит в касательной плоскости к гиперповерхности в точке Р), тогда производная по направлению вектора  называется тангенциальной производной или внутренней производной на гиперповерхности.

Если функция v на гиперповерхности задана, то внутренние производные этой функции на гиперповерхности нам известны, покажем это.

Введем в окрестности гиперповерхности В новую систему координат ξ12,…,ξn, при чем в качестве координат  ξ12,…,ξn  выберем внутренние криволинейные координаты на гиперповерхности. А в качестве ξ1 возьмем .

 Производная функции v будет , а производная по направлению

 

Так как по предположению вектор  касается гиперповерхности в точке Р, то

Когда функция v на гиперповерхности задана, эта производная в точках поверхности может быть вычислена.

Может случиться, что вектор  в точке Р удовлетворяет соотношению , откуда следует, что существует проекция вектора  на нормаль к поверхности отличная от нуля. Производная в этом случае называется выводящей.

Обратимся вновь к уравнению (1), которое может быть записано в виде:   (4), где  - производная по направлению вектора  , и пусть на гиперповерхности В задана функция v.

В лекции "22.1 Предпосылки перестройки" также много полезной информации.

Рассмотрим вопрос о возможности нахождения функции v в окрестности гиперповерхности с помощью уравнения (1). Возможны 2 случая:

1. В точке Р имеет место, и, следовательно, производная задаваемая дифференциальным уравнением является выводящей. В этом случае  функцию v в окрестности гиперповерхности можем найти, например, расписывая в разностном виде уравнение (4):

 (6)

где x1,x2,…,xn – значения координат на гиперповерхности. Зная значение функции v(x1,x2,…,xn)  в точке Р с помощью соотношения (6) можно найти ее значение в окрестности гиперповерхности.

2.  производная, входящая в дифференциальное уравнение является внутренней, она нам известна, и тогда д. у. (4) задает ограничение на задание функции v на гиперповерхности.

Поставленная задача (задача Коши) с данными на гиперповерхности является либо разрешимой, если везде на гиперповерхности выполняется неравенство , либо д. у. задает на гиперповерхности тангенциальную (внутреннюю) производную, и, таким образом, задает ограничение на задание функции v на этой поверхности. В этом случае сама гиперповерхность называется характеристической гиперповерхностью.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5057
Авторов
на СтудИзбе
455
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее