Решение линейных дифференциальных уравнений методами операционного исчисления
§4. Решение линейных дифференциальных уравнений методами операционного исчисления.
Рассматривается задача Коши для линейного дифференциального уравнения n – го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью, удовлетворяющей всем условиям существования изображения:
Самый непосредственный способ решения, использующий операционные методы, заключается в следующем: умножим уравнение (*) на 
и проинтегрируем по переменной t от 0 до ∞. Обозначив изображения функций y(t) и f(t) через Y(p) и F(p) , воспользуемся формулами изображения производных (§2, св.4) и начальными условиями (**). В результате получим:
Из этого соотношения можно выразить Y(p) и затем, используя либо формулу Меллина, либо свойства изображений и изображения известных функций, восстановить оригинал, т.е. решение уравнения (*) – (**). Ясно, что этим методом можно пользоваться только в самых простых случаях.
Пример. 
Обычно, задача разбивается на две более простые: однородное уравнение с ненулевыми начальными условиями и неоднородное – с нулевыми. В силу линейности, сумма полученных решений будет решением задачи (*) – (**). Применим этот метод к задаче последнего примера.
Рекомендуемые материалы
1) 
2) 
Необходимо отметить, что после перехода в уравнении (*) к изображениям, коэффициент при функции Y(p) равен характеристическому многочлену Pn(p). Это обстоятельство иногда используется при следующем методе решения.
Решаются n однородных уравнений (*) (будем обозначать их решения через zj(t)) с начальными условиями 
(символ Кронекера) 
. Решение однородного уравнения с начальными условиями (**) будет равно: 
.
Легко видеть, что изображение Zn-1 определяется равенством 
. Все функции zj(t) находятся так же, как и раньше.
При решении неоднородного уравнения с нулевыми начальными условиями получается равенство 
. Пользуясь теоремой о свертке, для решения неоднородного уравнения получим 
Пример. 
I. 
1) 
Вам также может быть полезна лекция "1.2 Типология культур и цивилизаций".
2) 
II. 
