Комбинированные механизмы выбора

1. Объединение механизмов выбора
2. Пересечение механизмов выбора
3. Суперпозиция механизмов выбора
4. Голосование механизмов выбора на заданное число голосов
5. Голосование механизмов выбора на максимальное число голосов
6. Голосование механизмов выбора на максимальное число голосов с учетом отказов от выбора

Объединение механизмов выбора

Вариант выбирается, если он выбирается хотя бы одним механизмом выбора.

Для каждого предъявления результат выбора является объединением результатов выбора по каждому механизму в отдельности.

В случае объединения двух механизмов – выбираются те варианты, которые выбраны хотя бы одним механизмом (логическое «ИЛИ»). Не выбираются те варианты, которые отвергнуты всеми механизмами.

Симметричность объединения механизмов

Пересечение механизмов выбора

Для каждого предъявления результат выбора является пересечением результатов выбора по каждому механизму в отдельности.

Вариант выбирается, если он выбирается всеми механизмами выбора (логическое И).

Отказ от выбора происходит при отказе хотя бы в одном механизме выбора.

Симметричность пересечения механизмов

Суперпозиция механизмов выбора

Применение многоэтапных процедур выбора. Предъявление обрабатывается первой процедурой. Затем к тому, что было отобрано применяется вторая процедура...

Вариант выбирается, если он выбирается всеми механизмами выбора.

Отказ от выбора происходит при отказе хотя бы в одном механизме выбора.

Несимметричность суперпозиции механизмов выбора

Комбинирование голосованиями

1. Голосование на заданное (s) число голосов.
Вариант выбирается, если его выбирают не менее чем s механизмов выбора.

2. (3.)Голосование на максимальное число голосов (с учетом отказов от выбора)
Вариант выбирается, если его выбирает максимальное число механизмов выбора.

Симметричность голосования механизмов выбора

Свойства функций выбора, полученных объединением механизмов (ОМ)

Свойство наследования для объединения механизмов выбора (ОМ)

Если исходные механизмы выбора М₁ и М₂ обладают свойством Н, то и объединение этих механизмов (ОМ) обладает свойством Н.

Пусть вариант у выбирается ОМ в предъявлении Х, тогда он должен быть выбран в М₁ или в М₂ и должен быть выбран в любом частичном предъявлении.

Свойство отбрасывания для объединения механизмов выбора (ОМ)

Если исходные механизмы выбора М₁ и М₂ обладают свойством О, то и объединение этих механизмов (ОМ) обладает свойством О.

Пусть варианты отвергаются ОМ в предъявлении Х , тогда они должен быть отвергнуты (в том же предъявлении) обоими механизмами (М₁ или М₂). Осталось только убедиться в неизменности выбора при переходе к соответствующим частичным предъявлениям.

Принцип Кондорсе для (ОМ) не выполняется

Если исходные механизмы выбора М₁ и М₂ обладают свойствами принципа Кондорсе, то объединение этих механизмов (ОМ), как правило, не обладает этими свойствами.

Пример. Задача выбора студентов для научной работы из следующего множества выбора: G = {Иванов, Петров, Сидоров}

Свойства согласия и отбрасывания для объединения механизмов выбора (ОМ)

Если исходные механизмы выбора М₁ и М₂ обладают свойствами отбрасывания и согласия, то объединение этих механизмов (ОМ) обладает свойством отбрасывания.

Для доказательства достаточно подобрать пример, когда не сохраняется свойство согласия. (Сохранение свойства отбрасывания гарантируется ранее доказанным утверждением.) Подберите такой пример самостоятельно!

Свойство константантности для объединения механизмов выбора (ОМ)

Если исходные механизмы выбора М₁ и М₂ обладают свойством константантности, то объединение этих механизмов в общем случае не сохраняет этого свойства.

Для доказательства достаточно подобрать соответствующий пример. Подберите такой пример самостоятельно!
Учтите также, что выполнение свойства К гарантирует выполнение свойств Н и О, а эти свойства при объединении сохраняются.

Свойства функций выбора, полученных пересечением механизмов (ПМ)

Свойство согласия для пересечения механизмов выбора (ПМ) сохраняется!

Если исходные механизмы выбора М₁ и М₂ обладают свойством С, то и пересечение этих механизмов (ПМ) обладает свойством С.

Пусть вариант у выбирается ПМ в предъявлениях Х₁, Х₂, тогда он должен быть выбран (в тех же предъявлениях) обоими механизмами (М₁ и М₂) и (в силу свойства С для М₁ и М₂) должен быть выбран в объединении этих предъявлений.

Принцип Кондорсе для пересечения механизмов выбора (ПМ)

Если исходные механизмы выбора М₁ и М₂ обладают свойствами принципа Кондорсе, то и пересечение этих механизмов (ПМ) обладает этими свойствами.

Проще всего доказать это утверждение, проверив свойство наследования для ПМ.
Если в некотором обобщающем предъявлении для ПМ некоторый вариант выбирается, то для того же предъявления он выбирается и каждым пересекающимся механизмом. Для них : Н+.
Значит для любого частичного предъявления этот вариант выбирается каждым из составляющих механизмом, то есть и ПМ.

Свойство константантности для пересечения механизмов выбора (ПМ)

Если исходные механизмы выбора М₁ и М₂ обладают свойством константантности, то при пересечении этих механизмов свойство константантности сохраняется.

Доказательство основывается на неизменности результатов выбора механизмами М₁ и М₂ при переходе от обобщающих предъявлений к частичным. Операция пересечения множеств не может добавить никаких лишних вариантов.

Понятие многоступенчатого механизма выбора

Это последовательное применение разных механизмов выбора: сначала отбираются варианты с помощью первого механизма, затем к выбранным вариантом применяют второй механизм и т.д.

В результате применения многоэтапного механизма получается функция выбора, являющаяся суперпозицией функций выбора соответствующих механизмов:

C(X) = C_k{C_k-1[...C₂(C₁(X))]}

Простейшим примером является лексикографический механизм выбора.

Вычисление суперпозиции функций выбора

Суперпозиция функций выбора является типичным примером сложной функции, когда результирующая функция получается в результате подстановки одной функции в аргумент второй.

C(X) = C₂(C₁(X))

В более общих случаях суперпозиция получается в результате применения многоэтапного механизма выбора:

C(X) = C_k{C_k-1[...C₂(C₁(X))]}

Пример табличного вычисления суперпозиции