Выведите понятие n-мерного случайного вектора и сформулируйте основные свойства его функции распределения
Выведите понятие n-мерного случайного вектора и сформулируйте основные свойства его функции распределения.
Совокупность случайных величин X1=X1(w), …, Xn=Xn(w), заданных на одном и том же вероятностном пространстве , называют многомерной (n-мерной) случайной величиной, или n-мерным случайным вектором. При этом сами случайные величины X1, X2, …, Xn называют координатами случайного вектора.
Функцией распределения (вероятностей) F(x1, …, xn) = FX1, …, Xn(x1, …, xn) n-мерного случайного вектора (X1, …, Xn) называют функцию, значение которой в точке (x1, …, xn) Î Rn равно вероятности совместного осуществления (пересечения) событий {X1<x1}, …, {Xn<xn}, т.е. F(x1, …, xn) = FX1, …, Xn(x1, …, xn) = P(X1<x1, …, Xn<xn}.
В частности, при n=2 имеем двумерную функцию распределения.
Свойства двумерной функции распределения:
1. 0 £ F(x1, x2) £ 1
2. F(x1, x2) – неубывающая функция по каждому из аргументов x1, x2
3. F(-¥, x2) = F(x1, -¥) = 0
4. F(+¥, +¥) = 1
Рекомендуемые материалы
5. P{a1£X1£b1, a2£X2£b2} = F(b1, b2) – F(b1, a2) – F(a1, b2) + F(a1, a2)
6. F(x1, x2) – непрерывная слева в любой точке (x1, x2) Î R2 по каждому из аргументов x1, x2 функция
7. FX1, X2(x, +¥) = FX1(x), FX1, X2(+¥, x) = FX2(x)
Доказательство:
1)
2)
Обратите внимание на лекцию "10.6 Внешняя политика".
3) События {X1<-} и {X2<-} являются невозможными, а пересечение невозможного события с любым событием также невозможное событие, вероятность которого равна нулю
4) События {X1<+} и {X2<+} так же,как и их пересечение, являются достоверными, вероятность которых равна единице
5) Сами
6) (пусть x1,…,xn,… - любая возрастающая посл-ть чисел, стремящаяся к x. Событие {X<xn} является объединением событий {X<xn}. Снова воспользовавшись аксиомой непрерывности, приходим к утв)
7) Событие {X1<+} является достоверным, поэтому