Операции с матрицами: сложение, умножение, свойства

П.2. Операции с матрицами

Определим сумму и произведение матриц, а также рассмотрим некоторые их свойства.

Сумма двух матриц

Если две матрицы имеют одинаковые размеры, то с ними можно выполнить операцию сложения. Сумма матриц находится путем сложения их соответствующих элементов. Так, если А и В размеров nxр, то С=А+B - матрица тех же размеров nxр и находится в виде C=(c_ij)=(a_ij+b_ij), например,

+=.

Разность G=А–B двух матриц А и В находится в виде: G=(g_ij)=(a_ij–b_ij).

Два свойства сложения матриц приведены в следующей теореме.

Теорема П.2.1. Если матрицы А и В обе размеров nxm, то

1. A+B=B+A.                                                   (П.2.1)
2. (A+B)^Т=A^Т+B^Т.                                            (П.2.2)

Доказательство: Пункт 1 следует из коммутативности действительных чисел

Рекомендуемые материалы

a_ij+b_ij=b_ij+a_ij.

Для пункта 2 пусть С=А+В. Тогда, в силу (П.1.3),

С^Т=(с_ij)^Т=(с_ji)=(a_ji+b_ji)=(a_ji)+(b_ji)=А^Т+В^Т.

□

Произведение матрицы на число

Любая матрица может быть умножена на любое скалярное число. Произведение матрицы на скаляр с определяется, как произведение каждого элемента матрицы на этот скаляр

сА=(сa_ij)=.                         (П.2.3)

Так как ca_ij=a_ijc, то произведение скаляра и матрицы коммутативно

cA=Ac.                                                          (П.2.4)

Произведение двух матриц

Для того чтобы произведение АВ было определено необходимо чтобы число столбцов матрицы A было равно числу строк матрицы B. Тогда (ij)-й элемент произведения С=АВ находится в виде

c_ij=,                                                 (П.2.5)

что является суммой произведений элементов i-й строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B. Таким образом, каждая строка матрицы A умножается на каждый столбец матрицы B. Если матрица A размеров nxm и матрица В размеров mxp, то матрица С=АВ получается размеров nxр. Покажем умножение матриц на следующем примере.

Пример П.2.1. Пусть А= и В=, тогда

АВ==

ВА==

□

Если для матриц А=А_nm и B=В_mр имеем р≠n, то произведение АВ определено, а произведение ВА неопределенно. Для матриц А=А_nр и B=В_рn произведение AB имеет размеры nхn, а произведение ВА имеет размеры рхр. В этом случае, конечно АВ≠ВА, как показано в примере П.2.1. Если А и В обе одинаковых размеров nхn, то AB и BA имеют одинаковые размеры, но в общем

АВ≠ВА.                                                        (П.2.6)

[Есть несколько исключений из этого правила, например, две диагональные матрицы или квадратная и единичная матрицы.] Таким образом, умножение матриц не является коммутативным и некоторые знакомые операции с вещественными числами не могут быть выполнены с матрицами. Тем не менее, умножение матриц дистрибутивно для их сложения или вычитания:

А(B±C)=AB±AC,                                                    (П.2.7)

(A±B)C=AC±BC.                                                    (П.2.8)

Используя (П.2.7) и (П.2.8) можно преобразовать произведение (А–B)(C–D) следующим образом

(А–B)(C–D)=(А–B)C–(А–B)D              [в силу (П.2.7)]

=АC–BC–АD+BD               [в силу (П.2.8)].        (П.2.9)

Умножение матрицы на вектор выполняется по тем же правилам, что и умножение матриц. Положим, что матрица А=А_nр и векторы b=b_р1, с=c_р1 и d=d_n1. Тогда произведения: Ab - вектор размеров nх1, d^ТA - вектор строка размеров 1хр, b^Тс - скалярное число, bс^Т - матрица размеров рхр и cd^Т - матрица размеров рхn. Так как b^Тс - скалярное число, то оно равно с^Тb:

b^Тс=b₁с₁+b₂с₂+...+b_рс_р, с^Тb=с₁b₁+с₂b₂+...+с_рb_р, b^Тс=с^Тb.               (П.2.10)

Матрица cd^Т получается в виде

cd^Т=.                                (П.2.11)

Аналогично

b^Тb=b₁²+b₂²+...+b_р²,                                                  (П.2.12)

bb^Т=.                                 (П.2.13)

Таким образом, b^Тb - сумма квадратов и bb^Т - симметричная квадратная матрица.

Квадратный корень из суммы квадратов значений элементов вектора b размеров рх1 является расстоянием от начала координат в пространстве р измерений до точки в этом пространстве, координаты которой определены значениями элементов вектора b. Положительное значение этого квадратного корня является длиной или нормой вектора b:

Длина вектора b==.                         (П.2.14)

Если 1 - вектор единиц размеров nх1, то, в силу (П.2.12) и (П.2.13), получаем

1^Т1=n и 11^Т==E,                             (П.2.15)

где E=Е_nn - квадратная матрица размеров nхn. Если вектор а=а_n1 и матрица А=А_nр, то

а^Т1=1^Та=,                                             (П.2.16)

1^ТА= и А1=.                 (П.2.17)

Таким образом, а^Т1 - сумма элементов вектора а, 1^ТА – вектор строка сумм элементов столбцов матрицы A и A1 - вектор столбец сумм элементов строк матрицы А. Заметим, что в а^Т1 и 1^ТА вектор 1 размеров nх1, а в A1 вектор 1 размеров рх1.

Транспозиция произведения двух матриц равна произведению транспозиций сомножителей в обратном порядке.

Теорема П.2.2. Для матриц А=А_nр и В=В_рm имеем

(AB)^Т=B^ТA^Т.                                                 (П.2.18)

Доказательство дано в [Беклемишев (2006), стр.125].

□

Покажем применение теоремы П.2.2 для матриц А=А₂₃ и B=В₃₂:

AB=

=,

(AB)^Т=

=

=

=B^ТA^Т

Если последовательно применять выражение (П.2.18) к произведению любого числа матриц, то получаем

(ABС...Z)^Т=Z^Т…C^ТB^ТA^Т.

Любая матрица А может быть умножена на свою транспозицию для образования произведений A^ТA или AA^Т. Некоторые свойства этих двух произведений приведены в следующей теореме.

Теорема П.2.3. Пусть А=А_nр - любая матрица. Тогда произведения A^ТA и AA^Т имеют следующие свойства:

1. Матрица A^ТA имеет размеры рхр и её элементы равны произведениям столбцов А.
2. Матрица AA^Т имеет размеры nхn и её элементы равны произведениям строк А.
3. Обе матрицы A^ТA и AA^Т симметричные.
4. Если A^ТA=O, то А=О.

Доказательство:

Доказательства пунктов 1 и 2 следуют из определения умножения матриц.

3. (A^ТA)^Т=A^Т(A^Т)^Т=A^ТA и (AA^Т)^Т=(A^Т)^ТA^Т=AA^Т.

4. Число а_i^Tа_i является i–м диагональным элементом матрицы A^ТA, где а_i - i-й столбец матрицы А. Так как а_i^Tа_i==0, то имеем а_i=0.

□

Положим, матрицы А=А_nm и В=В_mр. Пусть a_iс будет i-й строкой матрицы А, b_j будет j-м столбцом матрицы В и эти матрицы можно представить в виде

А= и В=[b₁, b₂, …, b_p].

Тогда, по определению, (ij)-м элементом произведения AB является a_iсb_j, то есть,

АВ=.

Результат произведения можно записать с использованием строк матрицы А:

АВ===В.                         (П.2.19)

С помощью матрицы А первый столбец произведения AB записывается в виде

Ab₁=b₁=.

Аналогично, второй столбец можно записать в виде Ab₂ и так далее. Таким образом, AB можно записать посредством столбцов матрицы B следующим образом:

АВ=А[b₁, b₂, …, b_р]=[Аb₁, Аb₂, …, Аb_р].                         (П.2.20)

Пусть матрица A=А_nn и матрица D=диаг[d₁, d₂,..., d_n]. Тогда в произведении DА элементы i-й строки матрицы А умножаются на d_i, а в произведении AD элементы j-го столбца матрицы А умножаются на d_j. Например, если n=3, то имеем

DA==,    (П.2.21)

AD==,     (П.2.22)

DAD=.                                            (П.2.23)

Обратим внимание, что DA≠AD. Тем не менее, в случае, когда диагональная матрица единичная, то (П.2.21) и (П.2.22) сводятся к выражению

IA=AI=A.                                                     (П.2.24)

Если матрица А прямоугольная, то (П.2.24) остается в силе, но единичные матрицы для умножения слева и справа должны быть соответствующих размеров. Это также справедливо и для выражений (П.2.21), (П.2.22) и (П.2.23), где диагональные матрицы также должны быть соответствующих размеров [Беклемишев (2006) стр.126].

Если А - симметричная матрица и у - вектор, то произведение

у^ТАу=+                                      (П.2.25)

называется квадратичной формой. Если векторы х=х_n1, у=у_р1 и матрица А=А_nр, то произведение

х^ТАу=                                                       (П.2.26)

называется билинейной формой.

Произведение Адамара

Обратите внимание на лекцию "Сарматы: история, хозяйство и общество".

Иногда применяется третий тип произведения матриц, называемый поэлементным или произведением Адамара. Если две матрицы или два вектора имеют одинаковые размеры, то их произведение Адамара находится простым умножением их соответствующих элементов:

А◦В=(а_ijb_ij)=.                        (П.2.27)

Произведение Кронекера

Если матрица А имеет размеры тхn и матрица В имеет размеры pхq, то их произведение Кронекера определяется матрицей размеров тpхnq

АB=.                                      (П.2.28)

В общем случае, АB≠ВА и матрицы могут быть векторами [Seber (2008) cтр.234].