Доказать необходимое условие экстремума дифференцируемой функции
Доказать необходимое условие экстремума дифференцируемой функции.
Для того, чтобы функция, дифференцируемая в точке , имела локальный экстремум необходимо, чтобы производная в этой точке была равна 0.
Доказательство: следует из теоремы Ферма.
Вам также может быть полезна лекция "5. Уравнения и передаточные функции".
Дано: точка – точка локального экстремума.
Доказать: .
Согласно определению локального экстремума, функция принимает в либо максимальное, либо минимальное значение по теореме Ферма производная в точке равна 0.
Т. Ферма:
Пусть y=f(x) определена на (a;b) и в некоторой точке этого интервала принимает наибольшее или наименьшее значение. Если в этой точке функция имеет производную, то эта производная равна нулю.
Доказательство: (Для наибольшего значения). Пусть так как функция дифференцируема в . ; ; Т.к. .