Доказать необходимое условие экстремума дифференцируемой функции

Доказать необходимое условие экстремума дифференцируемой функции.

Для того, чтобы функция, дифференцируемая в точке , имела локальный экстремум необходимо, чтобы производная в этой точке  была равна 0.

Доказательство: следует из теоремы Ферма.

Вам также может быть полезна лекция "5. Уравнения и передаточные функции".

Дано: точка – точка локального экстремума.

Доказать: .

Согласно определению локального экстремума, функция принимает в  либо максимальное, либо минимальное значение  по теореме Ферма производная в точке  равна 0.

Т. Ферма:

Пусть y=f(x) определена на (a;b) и в некоторой точке этого интервала принимает наибольшее или наименьшее значение. Если в этой точке функция имеет производную, то эта производная равна нулю.

Доказательство: (Для наибольшего значения). Пусть так как функция дифференцируема в  . ; ; Т.к. .