Задачи на собственные значения
Задачи на собственные значения
Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение
второго порядка
(2.51)
c однородными граничными условиями
(2.52)
Здесь предполагается, что 0 7 , 0x 7 , 0L, 7l 0 некоторый параметр, имеющий определенный физический смысл.
Задача (2.51), (2.52) является однородной краевой задачей. Особенность ее в том, что для любого значения параметра она имеет "тривиальное" решение y=0. Но кроме того, имеются еще определенные значения , при которых задача имеет не равные тождественно нулю ("нетривиальные") решения. Такие значения параметра называются собственными значениями , а соответствующие им ненулевые решения y(x) называются собственными функциями . Сама же задача отыскания собственных значений и собственных функций называется задачей на собственные значения . Эта задача представляет большой интерес для технических приложений. К ней, например, сводятся многие задачи устойчивости и колебаний упругих систем.
Рассмотрим в качестве примера задачу об устойчивости консольно закрепленного стержня, сжатого продольной силой P. С математической точки зрения эта задача сводится именно к задаче на собственные значения (2.51), (2.52). При этом параметр
Рекомендуемые материалы
(2.53)
где EI-изгибная жесткость стержня длиной L. Тривиальное решение y=0 соответствует прямолинейной форме равновесия сжатого стержня. Для определения собственных значений параметра следует, во-первых, найти общее решение уравнения (2.51). Заранее известно, что общее решение
(2.54)
Отыскивая частные решения , в форме экспоненты: приходим к характеристическому уравнению которое имеет мнимые корни , . Поэтому общее решение уравнения (2.51) принимает вид
(2.55)
Общее решение (2.55) подчиняем граничным условиям (2.52). Из условия следует, что . Удовлетворяя второму граничному условию, получаем уравнение .
Из условия существования нетривиального решения . Следовательно, необходимо принять
(2.56)
Из этого простейшего тригонометрического уравнения следует Поэтому собственные значения параметра будут равны
(2.57)
Соответствующие им собственные функции
(2.58)
Информация в лекции "4.8 Российская философия культуры" поможет Вам.
определены, как видно, с точностью до постоянного множителя.
Формулы (2.57), (2.58) дают решение задачи (2.51), (2.52) на собственные значения. Как видно из (2.57), существует бесконечное количество собственных значений параметра . Подставим (2.57) в выражение (2.53)
(2.59)
Из формулы (2.59) следует, что существует множество значений сжимающей силы P, при которых возможны различные искривленные формы равновесия продольно сжатого стержня. Наименьшее значение сжимающей силы, соответствующее n=0, называется критическим и равно
. (2.60)
При этом значении силы первоначальная прямолинейная форма равновесия сжатого стержня становится неустойчивой.