Моделирование случайных воздействий

Моделирование случайных воздействий.

Важной задачей в практике имитационного моделирования систем на ЭВМ является расчёт случайных величин. В языках программирования существуют датчики равномерно распределённых псевдослучайных величин в интервале {0,1}. Остановимся на вопросах преобразования последовательности псевдослучайных величин {X_i} в последовательности {Y_i} с заданным законом распределения и моделировании различных случайных событий.

Рассмотрим особенности моделирования случайных событий.

Пусть имеются случайные числа x_i, т.е. возможные значения случайной величины x, равномерно распределённой в интервале {0,1}. Необходимо реализовать случайное событие А, наступающее с заданной вероятностью Р. Определим А как событие, состоящее в том, что выбранное значение x_i удовлетворяет неравенству:

x_i­£Р                                                                           (1)

Тогда вероятность события А будет : . Противоположное событию А состоит в том, что x_i­>р. Тогда . Процедура моделирования состоит в этом случае в выборе значений x_i и сравнение их с р. При этом, если условие (1) удовлетворяется, то исходом испытания будет событие А.

Таким же образом можно рассмотреть группу событий. Пусть А₁, А₂…А_n – полная группа событий, наступающая с вероятностями Р₁, Р₂, … Р_n соответственно. Определим А_m как событие, состоящее, в ом, что выбранное значение x_i случайной величины x удовлетворяет неравенству:

                                                             l_m-1­<x_i<l_m, где                              (2)

Тогда . Процедура моделирования испытаний в этом случае состоит в последовательности сравнений случайных чисел x_i со значениями l_k. Исходом испытания оказывается событие A_m, если выполняется условие (2). Эту процедуру называют определением исхода по жребию в соответствии с вероятностями Р₁, Р₂, … Р_n.

Рекомендуемые материалы

При моделировании систем часто необходимо осуществить такие испытания, при которых искомый результат является сложным событием, зависящим от 2-х и более простых.

Бесплатная лекция: "4.3. Статистические методы в пакете MS Excel" также доступна.

Пусть например, независимые события А и В имеют вероятности наступления Р_А и Р_В. Возможными исходами совместных испытаний в этом случае будут события с вероятностями Р_АР_В, (1-Р_А)Р_В, Р_А(1-Р_В), (1-Р_А)(1-Р_В). Для моделирования совместных испытаний можно использовать последовательную проверку условия (1). Он требует двух чисел x_i.

Рассмотрим случай, когда события А и В являются зависимыми и наступают с вероятностями Р_А и Р_В. Обозначим через Р(В/А) условную вероятность события В при условии, что событие А произошло. Считаем, что Р(В/А) задана. Из последовательности случайных чисел {X_i­} извлекается определённое число x_m  и проверяется справедливость неравенства x_m<P_A. Если это неравенство справедливо, то наступило событие А. Для испытания, связанного с событием В используется вероятность Р(В/А). Из совокупности чисел {X_i­} берётся очередное число x_m+1  и проверяется условие x_m+1£ Р(В/А). В зависимости от того выполняется или нет это неравенство, исходом испытания является АВ или . Если неравенство x_m<P_A не выполняется, то наступило событие . Поэтому для испытания, связанного с событием В необходимо определить вероятность:

Выберем из совокупности {X_i­} число x_m+1 и проверим справедливость неравенства . В зависимости от того, выполняется оно или нет, получаем исходы испытания . Алгоритм вычислений можно представить в виде схемы, которая изображена на рисунке 7.1.

Рис.7.1. Схема моделирования группы случайных событий